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Classe de 4ème

Programme.

 

 

 

 

DOSSIER : LES DECIMAUX RELATIFS Objectif cours

 

 

Définition de l’objectif : savoir faire la multiplication de deux nombres relatifs.

Rappel :

I ) Objectif N°1 « la valeur absolue »

II ) Se souvenir qu ’ à chaque fois que l’on fait un calcul avec deux nombres relatifs , le résultat est un troisième nombre relatif ; dont on devra rechercher : sa valeur absolue et son signe.

III) Multiplication :

Le produit « ab » est égal à la somme du nombre « b » , « a » fois .

« a » et « b » sont appelés « facteurs »

Le « produit » est le résultat d’une multiplication.(de deux nombres )

On ne « traite » que deux nombres à la fois. On ne peut pas calculer directement deux opérations en même temps.

IV) Pour comprendre ce qu’est un nombre relatif se souvenir qu ‘un nombre négatif : représente de « l’argent dû » (une dette ; de l’argent en « moins » ) et qu’un nombre positif représente une « rentrée d’argent ». (de l’argent en « plus »)

Pré requis :

1. Le nombre relatif.

 

2. Décimaux relatifs ( notions)



3. Décimaux relatifs

4. multiplication dans D+

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index : warmaths

Objectif précédent :

5. Addition de nombres relatifs  

6. Leçon précédent 4ème .

Objectif suivant

1°) division de nombres relatifs

 2°) Puissances de nombres relatifs

SOMMAIRE sur les nombres relatifs.

DOSSIER: Liste des fiches de travail

 

Fiche 1 : Règle des signes pour un produit de deux nombres relatifs.

 

 

Fiche 2 : ACTIVITES

 

 

Fiche 3 : Les propriétés de la multiplication des nombres relatifs.

 

 

Fiche 4 : Produit de plusieurs nombres relatifs.

 

 

Fiche 5 : Règles des signes pour un produit de plusieurs nombres relatifs.

 

 

Fiche 6 : Puissances de nombres relatifs.

 

 

 

 

 

 

Interdisciplinarité

 

Corrigé Contrôle DRMultipl cor.htm - cont

Corrigé évaluation DRMultipl cor.htm

FICHES .

 

Fiche 1 : Règle des signes pour un produit de deux nombres relatifs.

Info @: résumé.

 

 

La multiplication des nombres relatifs est une opération qui « prolonge » la multiplication des nombres décimaux « sans signe » et qui a les mêmes propriétés.

Le signe du produit de deux nombres relatifs dépend du signe de ces nombres. ( dans ce qui suit nous allons voir les 4 cas.)

 

 

A ) Produit d’un positif par un positif.

Exemple :

 

 

 

Puisque ( + 4 ) s’écrit « 4 » et ( + 3 ) s’écrit « 3 » ;        alors  s’écrit

 

 

Et comme 4 3 = 12 et que « 12 » peut s’écrire ( + 12 ) alors :

( + 4 )  ( + 3 ) = ( + 12 )

 

 

Il en est de même pour tous les nombres relatifs positifs.

 

 

( + 0, 3 )  ( + 1,2 ) = ( + 3,6 )

 

 

On dira alors : le produit d’un nombre positif par un nombre positif est un nombre positif.

 

 

 

 

 

B ) Produit d’un positif par un négatif.

Exemple : ( + 4 )  ( - 3 )

 

 

 

 

 

 

  correspond à    et s’écrit   

De même ( correspond à  , or      

 

 

 

 

 

Donc  et comme «  » peut s’écrire alors

 

 

 

 

 

 

IL en est toujours ainsi avec des nombres entiers.

Vous admettrez qu’il est de même pour tous nombres relatifs.

 

 

( + 2,5 )  ( - 0 , 6 ) = ( - 15 )

 

 

On dira alors : le produit d’un nombre positif par un nombre négatif est un nombre négatif.

 

 

 

 

 

C ) Produit d’un négatif par un positif.

Exemple :

 

 

 

 

 

La multiplication des nombres relatifs doit être commutative.

On doit donc avoir

 

 

Et comme  alors :

 

 

Vous admettrez qu’il est de même pour tous nombres relatifs.

 

 

 

 

On dira alors : le produit d’un nombre négatif par un nombre positif est un nombre négatif.

 

 

 

 

 

D ) Produit d’un négatif par un négatif.

Exemple :

Info Multiplication.htm

 

 

 

 

 

Vous avez pu constater que :

Multiplier par un positif ne fait pas changer le signe du produit.

Multiplier par un négatif fait changer le signe.

 

 

Vous concevez alors que si l’on multiplie un négatif par un négatifs le résultat soit ..positif…

 

 

 

 

 

Vous admettrez qu’il en est de même pour tous nombres négatifs.

 

 

 

 

 

 

 

On dira alors : le produit d’un nombre négatif par un nombre négatif est un nombre positif.

 

 

 

 

 

Règle : Pour faire le produit de deux nombres relatifs ,on multiplie ces nombres sans tenir compte des signes.

Puis on attribue le signe

 

 

 

 

 

Nota : ce cours est une approche sur les calculs avec des relatifs , il faudra approfondir ce travail en allant travailler les cours proposés dans la liste suivante : SOMMAIRE sur les nombres relatifs.

 

 

 

 

 

 

Fiche 2 : ACTIVITES

Info : Liste de devoirs@

 

 

Nota :

Sue les écritures équivalentes : ( + 12 ) ( + 15) = ( + 12 ) ( + 15) ; entre une parenthèse fermée et une parenthèse ouverte on peut ne pas écrire le signe de la multiplication.

Lecture :            lire :

Lecture : lire :

 

 

Série 1 : Calculez :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( + 2,5 ) ( - 0,8 ) =

( + 2,5 ) ( - 0,8 ) =( - 20 )

( - 0,03) ( + 0,6 ) =

( - 0,03) ( + 0,6 ) = ( - 0,018 )

( - 7,2 ) ( - 0,1 ) =

( - 7,2 ) ( - 0,1 ) = ( + 7,2 )

 

 

 

 

 

 

 

p4_decimaux_relatifs_multiplication_produit_fichiers/image037.gif

p4_decimaux_relatifs_multiplication_produit_fichiers/image039.gif

p4_decimaux_relatifs_multiplication_produit_fichiers/image041.gif

p4_decimaux_relatifs_multiplication_produit_fichiers/image043.gif

p4_decimaux_relatifs_multiplication_produit_fichiers/image045.gif

p4_decimaux_relatifs_multiplication_produit_fichiers/image047.gif

 

 

 

 

 

Série 2 :

 

 

Complétez la table de multiplication c- dessous.

C’est une portion de la table de multiplication des nombres entiers relatifs.

Vous pourrez faire certaines remarques ………

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

4

40 = 0

4

 

 

4² = 16

 

 

 

 

 

(-12)

(-3) (+3) = (-9)

(-6)

( - 3 )

0

3

30 = 0

3

6

3² = 9

12

15

18

 

 

-8

-6

(-2)(+2) = (-4)

 

0

2

20 = 0

2

2² = 4

6

8

10

12

 

 

-4

-3

-2

(-1)(+1) = -1² =-1

0

1

10 = 0

1= 1²=1

2

3

4

5

6

 

 

-40 = 0

-30 = 0

-20 = 0

-10 = 0

00 = 0² =0

0

00 = 0² =0

0 = 0

0

0

0

0

0

 

 

- 4

- 3

- 2

- 1

0

0

1

2

3

4

5

6

 

 

-40 = 0

-30 = 0

-20 = 0

-10 = 0

00 = 0² =0

0

00 = 0² =0

0 = 0

0

0

0

0

0

 

 

+4

+3

+2

-1 p4_decimaux_relatifs_multiplication_produit_fichiers/image057.gif

-10 = 0

-1

-10 = 0

-1 =

1² = -1

- 2

-3

-4

-5

-6

 

 

+8

+6

+4

+2

0

-2

0

-2

-4

-6

- 8

- 10

- 12

 

 

+12

+9

+6

+3

0

-3

0

-3

-6

-9

-12

-15

-18

 

 

+16

+12

+8

+4

0

-4

0

-4

-8

-12

-16

-20

-24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fiche 3 : Les propriétés de la multiplication des nombres relatifs.

Info++

 

 

 

 

 

Les propriétés de la multiplication des nombres relatifs découlent des propriétés des nombres sans signe. Passons- les en revue :

 

 

 

 

 

La Commutativité :

 

 

( + 7 ) ( - 3 ) = …(-21)…..

( - 3 ) ( +7 ) = …(-21)…..

On a alors

 

 

 

 

 

La multiplication des nombres relatifs est commutative , signifie que :

« » et « » étant des nombres relatifs quelconques , « »

 

 

 

 

 

L’associativité :

 

 

 

 

 

 

 

 

On convient alors de ne pas mettre les parenthèses et on écrit :      

 

 

 

 

 

De même        peut s’écrire :      

La multiplication des nombres relatifs est associative , signifie que :

« a » ; « b » ; « c  » étant des nombres relatifs ,            ; que l’on écrira plus tard  « »

 

 

L’Elément neutre .

Info +++@

 

 

 

 

 

( + 1 ) est élément neutre pour la multiplication des nombres relatifs, signifie que :

« a » étant un nombre quelconque , ;

 

 

 

 

 

Inverse :

Info ++@ inverse et opposé

 

 

Vous savez que :

     ;

 

 

Tout nombre relatif non nul possède un inverse ( et un seul )

 

 

 

 

 

 

 

«  » étant un nombre relatif non nul , :                    

  

 

 

 

 

 

 

Produit par ( - 1 ) :

 

 

 

 

 

 

Multiplier un nombre par ( + 1 ) revient à ne rien changer.

Multiplier un nombre par ( - 1 ) revient à changer le signe du nombre.

Le produit d’un nombre relatif par ( - 1 ) est égal à l’opposé de ce nombre.

 

 

« » étant un nombre relatif quelconque :            

 

 

 

 

 

 

 

Fiche 4 : Produit de plusieurs nombres relatifs.

Info ++ chaine d’opérations produit.

 

 

« 

 

 

En principe , on ne sait pas calculer :

 

Mais n’est autre que la forme simplifiée  par convention de :

  ( par exemple )

Activité :

Calculer :                

 p4_decimaux_relatifs_multiplication_produit_fichiers/image117.gif= p4_decimaux_relatifs_multiplication_produit_fichiers/image119.gif

 

 

Pour vous amuser , imaginez d’autres façons de placer les parenthèses , puis effectuez le calcul.

:                

 

Autre façon :            

 

 

Remarque :

Dans la pratique , on peut faire le calcul en imaginant parenthèses et crochets, comme on l’a fait au début, ce qui revient à multiplier le premier facteur par le second , le résultat par le troisième , et ainsi de suite jusqu’au dernier.

 

 

 

 

 

Activité : calculez avec cette méthode :

p4_decimaux_relatifs_multiplication_produit_fichiers/image123.gif

 

 

Idem :

p4_decimaux_relatifs_multiplication_produit_fichiers/image125.gif

 

 

 

 

 

·       Il est possible d’utiliser à la fois l’associativité et la commutativité.

Exemple :

Pour se faire vous regroupez les facteurs de manière à pouvoir faire les calculs mentalement .

   ; 

p4_decimaux_relatifs_multiplication_produit_fichiers/image129.gif

p4_decimaux_relatifs_multiplication_produit_fichiers/image131.gif ;    p4_decimaux_relatifs_multiplication_produit_fichiers/image133.gifp4_decimaux_relatifs_multiplication_produit_fichiers/image135.gif

 

 

 

 

 

 

Fiche 5 : Règles des signes pour un produit de plusieurs nombres relatifs.

 

 

 

 

 

 

Rappels :

1°) Si dans un produit les facteurs sont positifs , le produit est positif.

)Le produit de deux nombres négatifs est un nombre positif.

3°) Le produit d’un nombre négatif par un positif est un nombre négatif .

 

Considérons le produit :

 

 Grâce à la commutativité et à l’associativité , on peut regrouper les facteurs comme on veut.

Groupons entre eux les facteurs positifs et groupons par « 2 » les facteurs négatifs.

 

 

p4_decimaux_relatifs_multiplication_produit_fichiers/image139.gif

En utilisant les rappels précédents, vous pouvez dire que le contenu de chacun des crochets est un nombre positif. Donc le produit est positif.

 

 

· Faîtes de même pour « B » :

 

 

p4_decimaux_relatifs_multiplication_produit_fichiers/image143.gif

Le contenu de chaque crochet est un nombre positif .

Le produit de ces nombres est donc un nombre positif .

Mais il reste un facteur négatif , donc le produit sera négatif .

 

 

En définitive :

Si on peut grouper les facteurs négatifs deux par deux sans qu’il en reste un tout seul, alors le produit est positif .

, Dans ce cas , le nombre de facteurs négatifs est un nombre « pair ».

Si après avoir groupé les facteurs négatifs deux par deux il en reste un , alors le produit est négatif .

Dans ce cas , le nombre de facteurs négatifs est un nombre « impair » .

 

 

 

 

 

A retenir :

Le produit de plusieurs relatifs est un nombre relatif :

·       « Positif » s’il y a un nombre pair de facteurs négatifs.

·       · « Négatif »  s’il y a un nombre impair de facteurs négatifs.

 

 

 

 

 

Activité 1 : Donnez le signe du produit des opérations suivantes :

 

 

p4_decimaux_relatifs_multiplication_produit_fichiers/image145.gif

Quel est le signe de D. :négatif.

 

 

p4_decimaux_relatifs_multiplication_produit_fichiers/image147.gif

Quel est le signe de E : négatif

 

 

p4_decimaux_relatifs_multiplication_produit_fichiers/image149.gif

Quel est le signe de F : positif

 

 

 

Activité 2 : Déterminez le signe des nombres non nuls «  » , «  » , «  » , « » , « » sachant que :

«  » est positif ; «  » est négatif , «  » est positif , « » est négatif , « » est négatif.

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

Fiche 6 : Puissances de nombres relatifs.

Info @ ++ résumé +

 

 

( - 3 ) 5 signifie :   

( - 3 ) 5 se lit « ( - 3 ) exposant  « 5 » et ( - 3 ) 5 est une puissance de ( - 3 ) ;

« 5 » s’appelle ….exposant. , il indique le nombre de facteurs égaux à ( - 3 )

 

Activité :

Complétez :

 

 

 

 

 

A retenir :

«   » étant un nombre relatif et «    » un entier ( )

 

p4_decimaux_relatifs_multiplication_produit_fichiers/image239.gif

Par convention :

« a 1 = a »

Si a 0 ;       a 0 = 1 (info++@)

 

 

 

 

 

Activité 1 :

Calculez :

 

 

( - 2 ) 5 = …………..

( - 0 , 3 ) 4 = ………

( 0 , 07 ) 3 = ………..

 

 

( + 5 , 27 ) 1 = ( + 5,27)

( - 43 , 7 ) 0 = 1

p4_decimaux_relatifs_multiplication_produit_fichiers/image242.gif

p4_decimaux_relatifs_multiplication_produit_fichiers/image244.gif

 

Signe d’une puissance.

 

 

·       ( + 2 ) 5 = ( + 2 ) ( + 2 ) ( + 2 ) ( + 2 ) ( + 2 )

C’est le produit de nombres positifs donc ( + 2 ) 5 est un nombre positif .

·       ( - 2 ) 5 = ( - 2 ) ( - 2 ) ( - 2 ) ( - 2 ) ( - 2 )

C’est le produit d’un nombre impair de négatifs donc ( - 2 ) 5 est un nombre négatif .

·       ( - 2 ) 4 = ( - 2 ) ( - 2 ) ( - 2 ) ( - 2 )

C’est le produit d’un nombre pair de négatifs donc ( - 2 ) 4 est un nombre positif .

 

 

A retenir :

Toute puissance d’un nombre positif est un nombre positif .

 

Toute puissance d’un nombre négatif est un nombre :

 

 

 

 

 

 

 

·         Des deux phrases suivantes, l’une est fausse, barrez la ; l’autre est vraie entourez la.

 

 

Affirmation A : Un carré peut- être négatif ou positif. ( fausse)

Affirmation B : Un carré est toujours positif. ( vraie )

 

 

 

 

 

Activité 2 :

Déterminez , si possible, les nombres qui ont pour carré      ( + 49 )  = ( + 7 )²   ou   ( - 7 )²

 

 

( + 0,04 ) est le carré de 0,2

; …est le carré de    ou 

( - 16 ) n’est pas un carré

 

 

 

 

 

Activité 3 :

Calculez :    ,  le signe de « A »   est p4_decimaux_relatifs_multiplication_produit_fichiers/image261.gif

p4_decimaux_relatifs_multiplication_produit_fichiers/image262.gif                 à terminer….

 

 

 

 

 

Opérations sur les puissances.

 

 

Les formules sont les mêmes que pour les nombres sans signe . ( info ++@ cours sur )

 

 

 

 

 

Activité 4 : Calculez  « B »   :   quel est le signe de « B » ?.

 

 

B = …………………………………………………………………………………………….. ; B = ………………

 

 

 

 

 

Activité 5 : Complétez le tableau ci-dessous.

 

 

 

 

 

 

« a »

2a

2 a²

( 2a

3a

3 a²

( 3 a ) ²

a3

 

 

 

-2

-4

+4

-8

+ 16

-6

+ 12

+36

-8

 

 

+ 5

10

+ 25

+ 50

100

+ 15

+ 30

225

125

 

 

-5

- 10

+ 25

+ 50

100

-15

-30

-225

-125

 

 

-10

- 20

+ 100

+ 200

+ 400

-30

-60

900

-1 000

 

 

Ceci termine les fiches sur le produit…

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

 

CONTROLE:

1.Que cherche -t-on à obtenir lorsque l’on effectue la multiplication de deux nombres relatifs?

2.Citer la règle concernant la multiplication de deux nombres positifs?

3.Citer la règle concernant la multiplication de deux nombres négatifs.

4 Citer la règle concernant la multiplication de deux nombres relatifs de signe contraire (opposé) ..................(dans ce cas un nombre est de signe + et un nombre est de signe -)

5.Transcrire en langage mathématique les règles précédentes.

 

 

 

 

 

EVALUATION:

Partie I:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Partie II .

Trouver le signe de «» sans faire le calcul :

(rendre compte :pour chaque «» lui attribuer un indice d’ordre)

 le signe de «» est :..............................

  ……. le signe de «» est :..............................

 ……. le signe de «» est :..............................

     …. le signe de « » est :..............................

 = ……. le signe de «» est :..............................

 = …. le signe de «» est :..............................

 ……. le signe de «» est :..............................

 ……. le signe de «» est :..............................

 ……. le signe de «» est :..............................

Partie III:

faire les opérations suivantes:

Partie IV:

Calculer :

Résoudre :

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

PROBLEMES @ :

 

DecimoRelatifsInterdiscipli.htm