Pré requis:

Les unités d’angle.

 

Le cercle trigonométrique

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index        

Objectif précédent :

Le mouvement uniforme  

Objectif suivant

Vers le « second degré »

tableau   

Sciences :liste des cours

DOSSIER : MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME et  UNIFORMEMENT VARIE

·        I  -  Définition. : fréquence de rotation. (niv V)

·        II  -Vitesse moyenne linéaire ou circonférentielle d’un point.(niv V)

·        III - Vitesse angulaire.(niv V +)

·        IV - Problèmes types

Objectifs niv. V  : Savoir utiliser la relation «  V = p D n »

Savoir transforme la formule «  V = p D n » pour calculer une fréquence de rotation pour un mouvement circulaire (réglage machine) à partir d’une « V »

TEST

           

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                       

 

Corrigé Contrôle  

Corrigé évaluation  

COURS

 

I -   DEFINITION :

Fréquence de rotation ( notée : « n » ou « N »)

On appelle « fréquence de rotation » le nombre de tours effectués par un solide  en une seconde. On la note « n » et elle s’exprime en «  tr/s »  ou en « tr / mn »

Expérience : Prenons un disque monté sur l’axe de rotation d’un moteur électrique est animé d’un « mouvement de rotation »:

 

Le disque est animé d’un mouvement de rotation. Chacun de ces points décrit une circonférence ayant son centre en « O » sur l’axe de rotation.

1ère Observation :

Nous comptons le nombre de tours que le disque  fait chaque minute :

 

1ère minute : 33 tours

2ème minute : 33 tours

3ème minute : 33 tours , etc.

On constate  qu’en des temps égaux , le disque fait des nombres de tours égaux ; on dit  que son mouvement est uniforme.

Sa vitesse de rotation est de 33 tr / mn.

2ème  observation : Le point « M » parcours des arcs égaux  L’arc M1 M2  est égal à l’arc M2 M3 qui est égal à l’arc M3 M4 , en des temps égaux. Son mouvement est « circulaire uniforme ».

En effet :

Un point quelconque « M » du disque décrit une circonférence, son mouvement est circulaire.

 

 

Il parcours , ,toujours dans le même sens , des arcs égaux  en des temps égaux . Son mouvement est donc circulaire uniforme.

 

Prenons une plaque « P » de forme quelconque :

 

 

Elle tourne autour de l’axe « O » d’un mouvement de rotation uniforme. Tous les ses points , tels que « A »  ou « B » ont  un mouvement circulaire uniforme.

 

Un point est animé d’un mouvement circulaire uniforme lorsqu’il parcourt , sur une même circonférence , toujours dans le même sens , des arcs égaux en des temps égaux , quelques que soient ces temps.

 

 

 

 

 

II ) VITESSE  LINEAIRE MOYENNE  ou CIRCONFERENTIELLE d’un point.  (formule:     V = p D N  )

 

Le rayon de la circonférence décrite par le point « M » mobile est de R = 0,10 m.

En 1 tour , il parcourt  la circonférence : 2  p  R   =  2 ´ 3,14 ´ 0,10

En 1 mn , il parcourt  33 fois cette circonférence , soit un espace égal à :

 2 ´ 3,14 ´ 0,10´ 33  =   20 , 724  m 

 

En 1 s. , il parcourt   20 , 724 / 60 = 0,3454  soit environ 0,35 m

 

On exprime ces résultats en disant que le point « M » a une vitesse  linéaire  ou circonférentielle de  20 , 724 m / mn ou  0 , 35 m / s.

 

Remarques :

►« vitesse linéaire » = une vitesse sur une ligne (droite ou courbe) , ici sur une trajectoire qui est une circonférence .

► « linéaire » s’oppose à « angulaire » 

 

On retiendra :la vitesse moyenne  linéaire ou circonférentielle d’un point animé d’un mouvement circulaire uniforme a la même mesure que la distance parcourue pendant chaque unité de temps.

 

 C’est la distance parcourue en 1 minute ou en 1 seconde ;   elle s’exprime couramment en « m / mn » ou « m / s. » , parfois en « Km/h »

 

En 1 tour   ( 1 tr.) la distance parcourue est :     2  p  R  

 

En « n »  tr.  Parcourue en 1 mn  ( 60 s.)   , la distance parcourue est :  2  p  R   n

 

En 1 seconde ( 1s.) , la distance parcourue est   (2  p  R   n) : 60

 

La vitesse linéaire ou circonférentielle, exprimée en  mètres par seconde , est : 

                                             

 

  « V » est exprimée en « m / s » ; « R » ou « D » en « m »  et « n » en tr/mn.

 

 

 

 

 

 

 

 

III ) VITESSE ANGULAIRE .

1°) Il est commode , en mécanique, d’utiliser comme unité d’angle , non pas le degré ou le grade mais le radian.

Rappelons que le radian (symbole « rd ») est l’angle au centre qui intercepte un arc égal au rayon.

L’arc AB = rayon OA = R

La demi - circonférence a une longueur de « 3,14 R »,

l’angle plat   « AOE » vaut « 3,14 R : R » soit «  = 3,14 » rd soit = p rd

On retiendra que :

Un angle plat  = 2 angles droits =  180 degrés = 200 grades = 3,14 radians.

Expérience :

Nous reprenons le disque de la première expérience. Nous traçons au crayon le rayon « OR » situé en fac de l’indexe « i ». Nous marquons sur ce rayon plusieurs points « A » , « B » , « C » , ……

Départ : « R » face à « i » 

On a fait tourner le disque d‘un angle « alpha »  noté « a »

les points « A » , « B » , et « C »  n’ont pas la même vitesse linéaire, mais ils ont la même vitesse angulaire          « Pourquoi ? »

 

Le disque a tourné de l’angle «a » correspondant à l’angle «  ROR1 ».

-          Le point « A » a décrit l’arc de cercle « A1A » ,

-          le point « B » a décrit l’arc de cercle « B1B » et

-          le point « C » a décrit l’arc de cercle « C1C ».

Les points  A1 , B1 , C1 sont sur le même rayon « OR1 » . Il est évident que les points « A » , « B » , et « C » n’ont pas décrit des espaces égaux dans le même temps. Ils n’ont donc pas la même vitesse linéaire.

 

Ils ont cependant  une propriété commune puisque les rayons qui les joignent au centre ont « balayé » le même angle. On exprime ce fait en disant qu’ils ont la même vitesse angulaire « w »  ( lire  « oméga »)

 

On retiendra :

La vitesse angulaire d’un point  « M » animé d’un mouvement circulaire uniforme est mesurée par le même nombre que l’angle , exprimé en radians , balayé en 1 seconde par le rayon « OM » .

 

Exemple :

Quand le disque fait 33 tours / mn.

 Le rayon « OM » balaie 2 demi - tours ou 2 p  radians à chaque tour.

En 1 mn, il balaie donc 

         2 ´ p ´ 33 .  radians  et en 1 s. , il balaie  (  2 ´ 3,14 ´ 33 ) / 60 = 3,454  radians par seconde  ou  3,5 rd/ s.

 

Si nous généralisons :

Si « n » le nombre de tours par minute d’un point animé d’un mouvement circulaire uniforme , sa vitesse angulaire est : 

Où « w » est exprimée en « rd/s. » et « n » en « tr/mn ».

Il faut respecter ces unités (grandeur)pour que les calculs soient acceptés.

En comparant les formules :

       et     , nous tirons   

avec « V » est exprimée en « m/s » ; « oméga » en « rd /s » ; et « R » en « m »

 


 

 

IV) PROBLEMES TYPES :

Problème 1 : Un foret   de 13 mm tourne à une fréquence de  rotation de  500 tr/mn . Quelle est sa vitesse moyenne « ce coupe » en m / mn .

Réponse : on sait que  V = p D N 

 

Le diamètre D = 0,013   ;  N = 500

 

on applique directement la formule :    V = 3,14 ´ 0,013 ´ 500 ;  V = 20 , 41   m / mn

 

Problème 2 : On doit percer un trou dans un mur  avec un foret   de 10 mm . La vitesse de coupe moyenne conseillée est de  12 m / mn . Quelle doit être la fréquence de  rotation à régler sur la perceuse .

Réponse : on sait que  V = p D N 

 

Le diamètre D = 0,010   ;  V  = 12 

 

on applique directement la formule :    12   = 3,14 ´ 0,010 ´ N  ;

premier calcul :   12  =  0, 0314  N ;

on transforme :   N  = 12 / 0,0314 

Résultat du calcul    = 382,16561 ; on réglera la fréquence de rotation  au environ de 380  tr / mn.

 

Réponse : on sait que  V = p D N 

 

Le diamètre D = 0,013   ;  N = 500

 

on applique directement la formule :    V = 3,14 ´ 0,013 ´ 500 ;  V = 20 , 41   m / mn

 

Problème 3 :Le disque dur  d’un  ordinateur  fait 7200 tr / mn. Quelle est la vitesse angulaire d’un point de ce disque ?

 

Réponse :

A chaque tour du disque , le rayon de ce point balaie un angle de 2  p radians.

En 1 mn , le rayon de ce point balaie un angle de  2  p ´ 7200 radians.

En 1 s. , le rayon de ce point balaie un angle de  (2  p ´ 7200) : 60 = 753,6 radians.

 

La vitesse angulaire cherchée est  « w  =  753, 6 rd/ s.»

 

Problème 4 :Un point marqué sur un disque tourne à une vitesse angulaire de 3,5 rd/s . Quelle est sa vitesse de rotation en tours par minute ?

 

Réponse :

.Le point « M » fait un tour quand son rayon balaie un angle de 2 fois 3,14 = 6,28 radians .

En 1s. , le rayon OM balaie  3,5 radians.

En 1 mn. , le rayon OM balaie  3,5  radians  fois 60 secondes : 3,5 ´ 60

En 1 mn. , le point « M » fait donc : (3,5 ´ 60) : 6,28 = 33,4 tours

La vitesse de rotation est donc de : 33,4 tr/ mn

 

Problème 5 :Calculer la vitesse moyenne linéaire circonférentielle  du point « A » sur une  plaque en rotation  (figure ci dessus) sachant que OA = 18 cm et que la vitesse angulaire est de 10 rd/s.

 

Réponse :

.Nous utilisons la formule 

avec « V » est exprimée en « m/s » ; « oméga » en « rd /s » ; et « R » en « m »

 

nous connaissons « oméga » = 10 rd/s et R = 18 cm qui devient = 0,18 m

 

La vitesse de rotation est donc de 10  ´ 0,18  =  1,8 m / s

 

 

Résumé :

1°) Un point est animé d’un mouvement circulaire uniforme lorsqu’il décrit sur une circonférence , et toujours dans le même sens , des arcs égaux en des temps égaux, quels  que  soient ces temps.

 

2°) La vitesse de rotation s’ exprime le plus souvent par le nombre de tours effectués en 1 mn  ( tr / mn   ou   tr . mn -1 ).

 

3°) La vitesse  linéaire  ou circonférentielle a même mesure que l’espace parcouru en 1 seconde ( 1 s.) Elle  s’ exprime en mètre par seconde  et est donnée par la formule

 

                                

4°) La vitesse  angulaire a même mesure que l’arc balayé en 1 s.  par le rayon joignant le centre de la circonférence  au point mobile . On l’exprime en radians par seconde . Elle est donnée par la formule ;

 

                                       

 

5°) On a la relation très utile :   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CONTROLE :

 

1°) Qu’appelle - t- on « Fréquence de rotation » ?   ( notée : « …… » ou « …….»)

 

 

2°) Quand dit - on qu’un point  décrit un mouvement circulaire ?

 

3°) Quand dit - on qu’un  point a un « mouvement circulaire  est uniforme » ?.

 

 

4°) Traduire :

 

 « m / mn »    =

 « m / s. »       =  

 « Km/h »      =

et 

« m .  mn-1 »   =

 « m  .  s -1 »   =

 « Km . h-1 »   =

quel est le point commun à ces écritures ? 

 

5°) A quoi est égale la vitesse moyenne linéaire ou circonférentielle ?

 

 6°) C’est la distance parcourue en 1 minute ou en 1 seconde ;   elle s’exprime couramment en « …………… » ou « ……………. » , parfois en « ………….. »

 

7°) Soit un point sur un disque :

 

8°) Quelle est la distance parcourue par ce point en 1 tour   ( 1 tr.) ? 

 

9°) Quelle est la distance parcourue par ce point  en   1 minute connaissant le « n »  tr par minute . 

 

10 °) En déduire la distance parcourue en 1 s.

 

11 °) Donner la formule permettant de calculer   V : La vitesse linéaire ou circonférentielle, exprimée en  mètres par seconde , est : 

 

 

12°) On donne la formule :               

 

En déduire « n »  

 

 

13°) Compléter :

Un angle plat  = ……angles droits =  ……….degrés = ………. grades = …….. radians.

 

14°  ) Définir : le radian ;  quel est le symbole qui le représente ?

 

 

15°)  Qu’est que la vitesse angulaire ? à quoi correspond t - elle ? par quelle lettre la désigne - t - on ?

 

16°) Donner la formule permettant de calculer la vitesse angulaire :

 

17°)  Donner la formule qui permet   de calculer la vitesse moyenne circulaire en fonction de la vitesse angulaire :

EVALUATION

 

Problèmes types : (corrigé dans le cours)

Problème 1 : Un foret   de 13 mm tourne à une fréquence de  rotation de  500 tr/mn . Quelle est sa vitesse moyenne « ce coupe » en m / mn .

 

Problème 2 : On doit percer un trou dans un mur  avec un foret   de 10 mm . La vitesse de coupe moyenne conseillée est de  12 m / mn . Quelle doit être la fréquence de  rotation à régler sur la perceuse .

 

Problème 3 :Le disque dur  d’un  ordinateur  fait 7200 tr / mn. Quelle est la vitesse angulaire d’un point de ce disque ?

 

Problème 4 :Un point marqué sur un disque tourne à une vitesse angulaire de 3,5 rd/s . Quelle est sa vitesse de rotation en tours par minute ?

 

Problème 5 :Calculer la vitesse moyenne linéaire circonférentielle  du point « A » sur une  plaque en rotation  (figure ci dessus) sachant que OA = 18 cm et que la vitesse angulaire est de 10 rd/s.

 

 

 

 

 

 

/html>