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Auteur : Warmé Raymond
Nomenclature 1
Factoriser la forme « ax^2+b x +c »
Information sur le "second degré"
ENVIRONNEMENT du dossier:
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Cours : FORME CANONIQUE de la fonction et factorisation du polynôme du second degré I ) Forme canonique de la fonction polynôme du second degré. II ) « Factorisation » de la fonction polynôme du 2^ème degré « ax^2 + bx + c »
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COURS

I ) Forme canonique de la fonction polynôme du second degré.

Voir factorisation
Soit l’ équation : a x^2 + b x + c
	Soit f (x) = ax^2 + b x + c ; a ¹ 0 On peut écrire ax^2 + b x + c = a ( x ^2 + x + ) x^2 + x est le début du développement de ( x + )^2 = x^2 + x + ainsi : ( x + )^2- = x^2 + x + - on obtenons : ( x + )^2= x^2 + x + on peut remplacer : [x^2 + x] par [( x + )^2 - ] d’où soit f (x) = a [x^2 + x] + = a[[( x + )^2 -] + ] ( A ) regroupons : - - = = quelque soit la valeur de « x » appartenant à l’ensemble des nombres réels : ax^2 + b x + c = a[( x + )^2 - ] la forme obtenue est appelée «  forme canonique » de la fonction polynôme du second degré .

Etude d’ exemples :

Exemple N°1

Soit la fonction f définie par : f(x) = x² – 4x + 10

En remarquant que « x² – 4x » est le début du développement de ( x – 2 )²

( x – 2 )² = x² – 4x  + 4

On déduit que quelque soit « x » appartenant à l’ensemble des réels :

x² – 4x = ( x – 2 )² – 4

soit x² – 4x + 10 = ( x – 2 )² – 4 +10

x² – 4x + 10 = ( x – 2 )² + 6

Exemple N°2

Soit la fonction f définie par : f(x) = 3x² – 2x + 4

quelque soit « x » appartenant à l’ensemble des réels :

3x² – 2x + 4 = 3 (x² – x + )

3x² – 2x + 4 = 3 (x² – x + )

en remarquant que « x² – x » contient les deux premiers termes du développement d’un carré , on obtient :

x² – x = (x – )² -

d’où x² – x + = (x – )² - + = (x – )² +

donc : quelque soit « x » appartenant à l’ensemble des réels :

3x² – 2x + 4 = 3 [(x – )² + ]

exemple N°3 :

Soit la fonction f définie par : f(x) = 2x² – 7x - 4

quelque soit « x » appartenant à l’ensemble des réels :

2x² – 7x - 4 = 2 (x² – x - 2)

x² – x = (x² – )² -

d’où x² – x - 2 =(x² – )² --2 = (x² – )² -

donc : quelque soit « x » appartenant à l’ensemble des réels :

2x² – 7x - 4 = 2 [(x² – )² -]

II ) « Factorisation » de la fonction polynôme du 2^ème degré « ax² + bx + c »:

De « ax² + bx + c » on a : a[( x + )² - ]

la forme obtenue a[( x + )² - ] est appelée «  forme canonique » de la fonction polynôme du second degré .

Nous posons : = b² – 4ac

Le nombre réel « b² – 4ac » est appelé « discriminant » de la fonction polynôme f. 

Ainsi : ax² + bx + c = a [( x + )² - ]

1^er cas : > 0

désignant la racine carrée positive de , on obtient :

= = (pour cette transformation voir puissance d’un rationnel )

on en déduit :

f(x) = a[( x + )² - ]

nous avons une forme d’une identité remarquable :

A² – B² = (A+B) (A-B)

ou « A » vaut « x +  » et « B » vaut «  »

D’où f(x) = a [x + +] [x + -]

Posons x’ = et x’’ =

On obtient alors : ax² + bx + c = a ( x – x’ ) ( x –x’’)

2^ème cas : = 0

D’où f(x) = a [x + + 0] [x + - 0]

D’où f(x) = a [x + ] [x + ]

D’où f(x) = a [x + ]²

3^ième cas : < 0 :

Dans ce cas aucune factorisation n’est possible

En résumé :

La factorisation de f(x) = ax² + bx + c , dépendra du discriminant :

1^er cas : > 0 ; ax² + bx + c se factorisera en f(x) = a ( x – x’ ) ( x –x’’)

Avec x’ = et x’’ =

2^ème cas : = 0

D’où ax² + bx + c se factorisera en f(x) = a [x + ]²

3^ième cas : < 0 : Dans ce cas aucune factorisation n’est possible

CONTROLE :

Donner la forme canonique des trinômes suivants :

N°1

Soit la fonction f définie par : f(x) = x² – 4x + 10

En remarquant que « x² – 4x » est le début du développement de ( x – 2 )²

( x – 2 )² = x² – 4x  + 4

On déduit que quelque soit « x » appartenant à l’ensemble des réels :

x² – 4x = ( x – 2 )² – 4

soit x² – 4x + 10 = ( x – 2 )² – 4 +10

x² – 4x + 10 = ( x – 2 )² + 6

N°2

Soit la fonction f définie par : f(x) = 3x² – 2x + 4

quelque soit « x » appartenant à l’ensemble des réels :

3x² – 2x + 4 = 3 (x² – x + )

3x² – 2x + 4 = 3 (x² – x + )

en remarquant que « x² – x » contient les deux premiers termes du développement d’un carré , on obtient :

x² – x = (x – )² -

d’où x² – x + = (x – )² - + = (x – )² +

donc : quelque soit « x » appartenant à l’ensemble des réels :

3x² – 2x + 4 = 3 [(x – )² + ]

N°3 :

Soit la fonction f définie par : f(x) = 2x² – 7x - 4

quelque soit « x » appartenant à l’ensemble des réels :

2x² – 7x - 4 = 2 (x² – x - 2)

x² – x = (x² – )² -

d’où x² – x - 2 =(x² – )² --2 = (x² – )² -

donc : quelque soit « x » appartenant à l’ensemble des réels :

2x² – 7x - 4 = 2 [(x² – )² -]

N°5 : x² – 16x + 39

N°6 : 3x² + 8x + 4

N°7 : 10x² – 49x + 51

N° 8 : 6 x² – 17x - 45

Factorisation de la fonction polynôme du second degré:

Donner la forme mathématique du discriminant :

En résumé à réciter  :

La factorisation de f(x) = ax² + bx + c , dépendra du discriminant :

1^er cas : > 0 ; ax² + bx + c se factorisera en f(x) = a ( x – x’ ) ( x –x’’)

Avec x’ = et x’’ =

2^ème cas : = 0

D’où ax² + bx + c se factorisera en f(x) = a [x + ]²

3^ième cas : < 0 : Dans ce cas aucune factorisation n’est possible

EVALUATION

INTERDISCIPLINARITE

AIRE d' un CARRE:

A = c ^2

A = aire

c = longueur d' un coté

Problème 1:

Calculer le coté d'un carré de 225 centimètres carrés d' aire:

225 cm^2 = c ^2

D'ou c =

C = + ou - 25 cm Conclusion : le coté du carré vaut 25 cm La solution négative ne peut convenir.

Problème 2

Calculer le rayon d'un disque dont on connaît son aire:

A = 200,96 cm^2	A = 3,14 R^2
Donc 200, 96 = 3,14 r^2	Après transformation = R^2 R^2 = 64
R = ; R = +8 ou - 8	R = 8 cm

Problème 3

Quel diamètre convient-il de donner à un cylindre de 1,50 m de haut pour obtenir une capacité de 25 hectolitres ?

25 hectolitres

25 00 litres

25 00 décimètres cubes

2 , 500 m^3

Le volume d'un cylindre: V =
4V = 3,14 D^2h	D^2 =
= donc	D =
	D = 1,456 m

Le mouvement uniformément varié

V = vo + a t	"V " est la vitesse au temps "t" "V o " est la vitesse initiale "e" désigne l' espace parcouru "a" désigne l' accélération du mouvement "t" temps mis
e = vot +a t^2	"V o " est la vitesse initiale "e" désigne l' espace parcouru "a" désigne l' accélération du mouvement "t" temps mis
Si le corps part du repos : vo = 0 ; alors les formules deviennent: V = vo + a t devient V = 0 + a t ; e = vot +a t^2 devient e = 0t +a t^2	V = a t e = +a t^2

Problème 1:

Au départ d'une gare un train met 40 secondes pour atteindre sa vitesse uniforme de 72 kilomètres à l'heure. Pour s'arrêter , il ralentit sa vitesse de 0 ,40 m/s^-1

On demande :

L' accélération du mouvement de départ.

L'espace parcouru quand il atteint sa vitesse normale;

Le temps mis pour s'arrêter;

La distance de la gare d'arrivée à laquelle le mécanicien doit cesser l'admission de vapeur.

1° v = at , d'où a

v = 72 kilomètres à l'heure ou 72 000 mètres en 3600 secondes

ou = 20 mètres à la seconde

a = = 0,50m par seconde

2° e = +a t² ; e = +0,50 40² = 400 mètres.

3°) V = v_o + a t de cette formule nous tirons : t =

mais v = 0 correspond à l' arrêt ; v_o = vitesse initiale 72 kilomètres à l'heure ou 20 mètres à la seconde ; a = - 0,40 m accélération "retardatrice".

t = ; t = ; t = 50 secondes

4°) e = v_ot +a t² ; e = 2050 + (-0,40) 50²

e = 1000-500 = 500 mètres