Pré requis

Structures algébriques.   Sur  LES GROUPES , ANNEAUX , CORPS.

 

 

 

ENVIRONNEMENT du dossier

INDEX « warmaths »

Objectif précédent :

)Le vecteur

2°) Calcul de la mesure algébrique d’un bipoint

 

Objectif suivant 

1°) les vecteurs colinéaires

2°) le produit scalaire de deux vecteurs.

Info générales :

Liste des cours sur le « repérage »

Liste des cours sur les vecteurs.

 

 

DOSSIER les vecteurs  : Les Espaces vectoriels, et  Algèbre. 

 

 

 

I ) Les espaces vectoriels.

 

 

A ) VECTEUR.

 

 

B ) ESPACE  VECTORIEL .

 

 

C ) SOUS - ESPACE  VECTORIEL.

 

 

 

 

 

II ) Algèbre.

 

 

A ) Familles génératrices ; familles libres et bases.

 

 

 

 

 

 

 

 

TEST

           Boule verte

COURS

                Boule verte

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité               

 

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

 

 

 

 

 

 

 

COURS

 

 

 

 

 

Normes  sur un espace vectoriel . Topologie .

 

 

 

 

 

Préalable : dans ce cours   la lettre « E »  est un espace vectoriel . ( pour info plus sur la définition d’un espace vectoriel  )

 

 

 

 

A-      

Vecteurs ; Espaces vectoriels ; sous espaces vectoriels.  

 

 

 

Par définition :

 

 

 

v Un élément       de   l’ensemble     est appelé   un vecteur de  l’ensemble    ,  les nombres    s’appellent les « coordonnées canoniques  du vecteur     » . 

 

 

 

v Pour   une valeur de  « i »   le vecteur          ( lire : vecteur « e » indice « i » )  est le vecteur dont toutes les coordonnées sont nulles à l’exception de la coordonnée       coordonnée qui vaut « 1 ».

                   Remarque :       Le vecteur nul est le vecteur dont toutes les coordonnées sont nulles ne soit : 

 

 

 

v Soient          et     deux vecteurs de     et   soit un nombre       ( lire : un nombre alpha  appartenant à l’ensemble des nombres  )

 

 

Somme de deux vecteurs :

    La somme      ……de     et de    est définie par :

 

 

    ) ,  ),  ) )

 

Remarque :  les coordonnées de la somme aura pour coordonnées pour chaque rang  la somme des coordonnées de même rang )

 

On écrira  plus simplement :

 

     ,  ,

 

 

 

Il en sera de même pour la somme de  3 vecteurs , et ………….. ainsi de suite ………………………

 

 

 

 

 

INOFO PLUS : voir le représentation graphique d’un vecteur :

 Coordonnées cartésiennes :

-Sur une droite.. ( repère : une dimension…)

-Dans un plan.( repère :deux dimensions…)

-Dans l’espace ( repère : trois dimensions ..)

Voir : un autre repérage dans l’espace….

 

 

 

 

 

Définition : suite.

 

 

La multiplication ( dit aussi  produit )  scalaire  de       par un nombre   ( lire nombre alpha )  est définie par :

 

( à savoir )        

 

 

 

 

Propositions :  eV 1

 

 

 

Groupe commutatif :

L’ensemble     muni de la loi de l’addition  (  ) :    (     )     est un « groupe commutatif » .

 

 

 

Pour la flèche   Lire : « à pour image »

 

 

« élément neutre et opposé ».

 

 

( à savoir )   L’élément neutre  pour  (  )  est le vecteur  :         et    l’inverse pour    appelé « opposé »  du vecteur      est le vecteur  «   ».

 

 

 

La multiplication (produit par …) par un scalaire.

Info avant ….

 

 

 

La multiplication par un scalaire :     définie par  (  )   vérifie les quatre propriétés suivantes :

 

 

 

 

Traduction :  quel que soit les nombres alpha et béta appartenant à l’ensemble des réels  et quelque soit les vecteurs « u » et « v » appartenant à l’ensemble des vecteurs.

 

 

 

1°)  

 

 

 

 

 2°)

 

 

 

 

3°) 

 

 

 

 

4° )   (    )

 

 

 

 

 

 

 

 

B-      

ESPACE  VECTORIEL .

 

 

 

 

 

Définition :

 

 

Un espace vectoriel « E » sur un corps    est un ensemble dans lequel il existe une loi de composition interne  , une application , notée «  » , de  ,  et une loi interne , une multiplication par un scalaire , notée   

Plus précisément :

 

 

 

v « E » muni   de «  »  est un groupe commutatif :  «  »  est associative , commutative , possède un élément neutre   , et tout vecteur      possède un inverse pour «  »  appelé « opposé ».

v Les lois ( addition ) «  »    et (produit) « »  vérifient les propriétés suivantes :

 

La loi  « »  est une action de  :     
 

 

(relation 2°)   :  

Les additions dans   sont distributives par rapport à la multiplication scalaire :

  ,

-           

-           (relation 3°)

 

-          ( la relation 4° )   (    )

 

 

 

 

 

Propositions :  eV 2

 

 

 

 est un sous espace vectoriel  sur le corps 

 

 

 

 

C-     

SOUS - ESPACE  VECTORIEL .  (noté : sev)

 

 

 

 

 

Définition :

 

 

Un sous espace vectoriel ( sev) d’un espace vectoriel « E » sur le corps    est un sous ensemble  « F » de « E » vérifiant les trois propriétés suivantes :

 

 

 

1°)

)  ,  ;

)  ,    ,  .

 

 

 

 

 

 

Remarques :

 

Il est possible de résumer les conditions « 2° » et   « 3° » en   .  ,   .

 

 

 

·      Par suite , un sous espace vectoriel « F »  et « E » est un sous –ensemble non vide de « E », car il contient   , stable par combinaison linéaire : toute combinaison linéaire d’éléments de « F » appartient à « F ».

 

 

·      Un sous- espace vectoriel « F » d’un espace vectoriel « E » sur le corps   est également un espace vectoriel sur le corps  .

·      Les sous espaces vectoriels sont les généralisations en dimension quelconque des droites et des plans    .

·      Pour tout  et    sont des sous-espaces vectoriels de    .

·      Pour montrer qu’un ensemble « F » est un espace vectoriel sur le corps « K » , il est souvent beaucoup plus rapide de montrer qu’il est un sous-espace vectoriel d’un ensemble que nous savons déjà être un espace vectoriel sur le corps « K ».

 

 

 

 

 

 

 

II ) Algèbre.

 

 

 

 

 

Définition :

Une algèbre sur un corps commutatif  est une structure algébrique   (   telle que :

 

·      (   est un espace vectoriel sur   ;

·      La loi  «  » est des   dans  , c’est une loi de composition interne ;

·      La loi   est distributive par rapport à la loi   ;

·      Pour  tout  dans   et pour tout  dans  ,

 

 

 

 

 

 

Exemple :

  est une algèbre sur  de dimension « 2 ». Si  est un corps commutatif ,  est une algèbre sur .

 

 

 

 

 

A ) Familles génératrices ; familles libres et bases.

 

 

 

 

 

Définition.

Soit   I   un ensemble ,  E un espace vectoriel sur le corps  ,   une famille de vecteurs de E  et      une famille d’éléments de

Presque tous nuls, c'est-à-dire tous nuls sauf éventuellement un nombre « p » fini d’entre eux.

Nous appelons combinaison linéaire de vecteurs de la famille  de coefficient     la somme :

 

 

Où les :   , , sont les seuls éléments de « I » pour lesquels   

 

 

 

 

 

 

Définition :

Soit      un ensemble ,  un espace vectoriel sur le corps  ,   une famille de vecteurs de   . Un vecteur  est une combinaison linéaire des vecteurs de la famille   s’il existe une famille d’éléments de  presque tous nuls,  telle que «  » est la combinaison linéaire de vecteurs de la famille   de coefficient     .

 

 

 

 

 

 

Définition :

Soit    un ensemble ,   un espace vectoriel sur le corps  ,   une famille de vecteurs de   et   un sous ensemble vectoriel ( sev) de  .

 

·        est une famille génératrice de  si tout élément  de  s’écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs de la famille   .

·      Les éléments de  , presque tous nuls ,    . qui interviennent dans l’écriture  de « u » comme combinaison linéaire des vecteurs de la famille    sont des coordonnées de    dans la famille   .

·      Si   .est une famille génératrice de  , alors nous disons que  est engendré par  

 

 

 

 

 

 

Définition :

Les vecteurs    .forment une famille libre de  si et seulement si aucun des vecteurs de   . ne peut être obtenu comme combinaison linéaire des autres vecteurs de cette famille.

 

 

 

 

 

 

Définition :

 

Si les vecteurs   .ne forment pas une famille libre, nous disons que les vecteurs sont liés.

 

 

 

 

 

 

Proposition 7 : avec les notations de la définition précédente , nous avons :

 

 

 

 

Définition :

 

Si   une famille génératrice de  , un sev de  . Nous dirons que    est une base de   si    est à la fois une famille libre et génératrice de  .

 

 

 

 

 

 

Proposition 8 : 

Soit l’ensemble  un sous ensemble vectoriel ( sev)  d’un espace vectoriel  sur le corps  . Soit     une base de  . Tout vecteur     s’écrit de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs de base    . Rn fait, nous avons :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

 

CONTROLE

 

 

 

 

Evaluation .