Pré requis :

 

Les Statistiques  info

La fonction linéaire

Les pourcentages

Calcul numérique : le coefficient multiplicateur.

ENVIRONNEMENT du dossier:

 

Index : warmaths

Objectif précédent  

1°) les enquêtes et observations.

2°) Voir cours niveau 5 : les « effectifs cumulés croissants »

Objectif suivant :

1°) Les moyennes.

2°) les caractéristiques de dispersion.

 

tableau   

2°) liste des objectifs

et

1°) les caractéristiques de tendance centrale et de position.

 

DOSSIER STATISTIQUES : les caractères de position .

les Quartiles :   Mais aussi les « déciles » et les « centiles »

 

 

1°) Définition.

 

 

2°) détermination des « Q » : Calculs ou par le  graphique.

 

 

3°) Intérêts.

 

Le caractère de dispersion :

L’intervalle interquartile :

 

 

1°) Définition

 

 

2°) Calcul

 

 

3°) remarques et analyses.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TEST

           

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                       

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

 

 

 

COURS

 

les Quartiles :

 

1°) définition :

on appelle « les quartiles » les  3  valeurs de la variable qui partagent l’effectif , rangé par ordre croissant  , en quatre sous ensemble égaux.

 

 

Les  3 quartiles  sont identifiés par les lettres abrégées : Q 1 ; Q2 ; Q 3 .

Par définition ,

Q2 est l’expression de la médiane .

Q1 est la valeur de la variable :

-         Telle que l’effectif des valeurs qui lui sont inférieures représente au plus 25 % de l’effectif total ;

 

-         Telle que l’effectif des valeurs qui lui sont supérieures représente au plus 75% de l’effectif total .

Q3 est la valeur de la variable :

-         Telle que l’effectif des valeurs qui lui sont inférieures représente au plus 75 % de l’effectif total ;

-         Telle que l’effectif des valeurs qui lui sont supérieures représente au plus 25% de l’effectif total .

 

Exemple : les «  Quartiles  :  Q 1 ; Q2 ; Q 3 »

 

 

 

2°) Calcul

 

 

a)  Détermination arithmétique.

Calculs de Q; Q2  et Q3  ( détermination du rang et de sa valeur )

Pour le rang de « Q »  on utilise le pourcentage ; pour la valeur « Q » on effectuera une interpolation linéaire.

 

 

Exemple :

 

 

xi

Effectifs ( ni )

 

simples

ECC

ECD

]1000  - 1500]

6

6

65

]1500  - 2000]

12

18

59

]2000  - 2500]

25

43

47

]2500  - 3000]

17

60

22

]3000  - 3500]

5

65

5

total

65

 

 

 

 

 

 

1°)     Calculs concernant : Q1   ( 25% des effectifs)

 -     Rang de Q1 = 65   17ème    ;

-     valeur de Q1  =   1500 + (1500 - 1000)  =  1500 + 458 = 1958

2°)     Calculs concernant : Q2   ( 50% des effectifs)

 -     Rang de Q1 = 65   33ème    ;

-     valeur de Q1  =   2000 + (2000 - 1500)  =  2000 + 300 = 2 300  (voir la correspondance avec le calcul de la valeur de la médiane)

3°)     Calculs concernant : Q1   ( 75% des effectifs)

 -     Rang de Q1 = 65   49ème    ;

-     valeur de Q1  =   2500 + (3000 - 2500)  =  2500 + 176 = 2676

 

b) détermination des « Q » par le graphique :

 

 

Les résultats se retrouvent graphiquement sur la fonction de répartition (vue lors de l’étude sur les ECC ; ECD , et les FCC et les FCD).

Pour déterminer les valeurs des quartiles , on repère sur l’axe des ordonnées les fréquences 0,25 , 0,5 et 0,75 , on trace des parallèles à l’axe des abscisses, puis des perpendiculaires issues des points d’intersections avec la courbe de répartition. Dans cet exemple , il apparaît que Q1 et Q2  sont symétriques à Q3

Remarque : cela n’est pas toujours le cas : si la fonction de distribution n’est pas symétrique , les Q1 et Q 2 ne seront pas symétriques par rapport à la médiane.

 

 

 

 

 

3°) Les intérêts de connaître les quartiles .

 

La connaissance des  Q 1 et  Q3 est surtout intéressante pour calculer le paramètre de dispersion appelé « intervalle interquartile ».

Nous pouvons cependant déjà remarquer qu’entre les valeurs Q 1 et  Q3 se trouve 50% de la population.

 

 

Remarque sur les « Déciles » et les « centiles » :

De  la même façon ,les déciles ( D1 à D9 ) sont définies comme les valeurs de la variable qui partagent l’effectif rangé par ordre croissant en dix sous ensembles égaux.

 

Sur la courbe de répartition ci dessous , on fait figurer le premier et le dernier décile.

 

Enfin , les centiles ( C1 à C99  ) partagent l’effectif total en cent sous - ensembles équivalents.

 

Les remarques qui ont été faites sur la médiane et les quartiles s’appliquent aux déciles et aux centiles.

 

 

                                                                                                 

 

L’intervalle interquartile :

 

 

1°) Définition.

 

 

L’intervalle interquartile d’une série statistique est égal à la différence 

 

 

 

Q 3  - Q 1

 

 

 

2°) Calcul.

 

 

a) Arithmétique

 

 

 

Exemple : xi

Effectifs.

 

 

 

( n i )

Cumulés croissants

 

 

1 000 – 1 500

6

6

 

 

1 500 – 2 000

8

14

 

 

2 000 – 2 500

3

17

 

 

2 500- 3 000

1

18

 

 

 

18

 

 

 

 

 

 

Calcul préalable de Q 1  et Q 3

 

 

1°)  Calcul de la valeur de Q 1

 

 

a)  Rang de Q 1  =   = 4 , 5 rang  compris dans la classe  1 000 – 1 500

 

 

 

b)  Valeur de Q 1  =

 

 

                  Q 1  = 1 000 + 375

 

 

                   Q 1  = 1 375

 

 

2°)  Calcul de la valeur de Q 3

 

 

a )  Rang de Q 3 =   = 13,5 ème  rang compris dans la classe de « 1 500-2 000 »

 

 

b)  Valeur de Q 3  = 1 500 +

 

 

                        Q 3  =1 500 + 468 ,75

 

 

                        Q 3  = 1 968,75

 

 

3°) Valeur de l’intervalle interquartile.

 

 

 

Q 3  - Q 1  =  968 , 75 – 1 375

 

 

 

 

Q 3  - Q 1  =  593,75

 

 

 

 

 

 

b)  graphique

 

 

Courbe des effectifs cumulés.

 

 

 

 

3°) Remarques -analyses

 

 

·        Dans l’intervalle  Q 3  - Q 1  = , on trouve  50 %  des observations centrées autour de la médiane. Plus l’intervalle est réduit , plus la concentration autour des valeurs centrales est forte.

 

 

·        Pour la comparaison de séries statistiques mesurées en unités différentes, il est conseillé de comparer les différents « écarts interquartiles relatifs », selon la formule : 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE :

 

1°)  Donner la définition des quartiles.

2°) Comment est calculer le rang et la valeur d’un quartile

3°) Comment détermine t -on la valeur du quartile dans un diagramme de répartition ?

 

EVALUATION

 

 

Soit le tableau ci dessous : calculer le rang et la valeur des quartiles .

 

 

xi

Effectifs ( ni )

 

simples

ECC

ECD

]1000  - 1500]

6

6

65

]1500  - 2000]

12

18

59

]2000  - 2500]

25

43

47

]2500  - 3000]

17

60

22

]3000  - 3500]

5

65

5

total

65

 

 

 

 

 

 

 

La correction est dans le cours.

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