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tableau     6c

DOSSIER : MEDIANE

 

TEST

           

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                       

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

 

 

La médiane partage l’effectif  en deux parties égales :

Cette valeur se détermine soit par calcul soit par graphique.

On distinguera le cas de la variable discontinue (« bâtons »)de la variable continue (histogramme) :

Pour la variable discontinue on ne trouvera pas de valeur médiane (sauf exception) donc « la médiane » sera recherchée dans le cas de série à variables continues.

 

 

 

COURS

 

1°) La médiane ( en abrégé « M » ou « Me ») est la valeur de la variable ( caractère)  qui  partage l’effectif total en deux parties égales, les éléments de la population étant rangés par ordre croissant ou décroissant.

En d’autres termes , la médiane est la valeur statistique qui correspond , sur la courbe cumulative , à une ordonnée représentant une fréquence relative de 0,5 ou 50% , ce qui entraîne que 50% des observations seront inférieures à la médiane et 50% supérieures à celle - ci . .

 

Remarque : la médiane a la même unité que le caractère.  (on dit aussi : que La médiane est une grandeur )

 

 

Info :  La valeur de la médiane peut se déterminer, soit par calcul numérique , soit graphiquement.

 

 

 

2°) Détermination de la valeur de la médiane par le calcul.

On distinguera deux cas : la variable est continue (dit aussi : caractère quantitatif continu) ou la variable est discontinue ( dit aussi : caractère quantitatif discret)

 

A  ) Détermination de la médiane dans une série statistique ,dans le cas d’une variable continue : (organisation des données par classes)

 

 

 

 

 

Par définition : la classe à laquelle appartient la médiane est appelée : « classe médiane ».

Exemple :

 

 

Valeurs

2 ; 3 ;5 ;7 ;7 ;9 ;

11 ;15 ;15 ;17 ;19 

20 ;23 ;25 ;27

 

Classe

[ 0 ; 10 [

[ 10 ; 20 [

[ 20 ;30 [

Effectif :  N = 14

6

5

4

 

La médiane de la série est

 

 

 

 

 

La classe médiane est donc [ 10 ; 20 [ ;   13 appartenant à cet intervalle.

 

 

 

 

 

 

 

 

Calcul numérique :

L’équation  de droite représentant la médiane est de la forme :        y  ( M) = 0,5     admet la solution dépendante de l’effectif étudié.

Procédure :

Partager le total de l’effectif en deux : ( 2 possibilités)

-         Si le total des effectifs est « impair » :  ( 2 n + 1) , le rang de la médiane est égal à : 

 

-         Si le total des effectifs est « pair » ( 2n), les deux termes médians occupent « respectivement » les rangs :

  Rechercher  la classe correspondante au(x) rang(s) précédemment déterminé(s).

Déterminer, en postulant une répartition homogène des valeurs dans la classe, la valeur de la médiane par interpolation linéaire.

 

 

 

Application .

Exemple :  soit le tableau ci -dessous

On veut :

1°)  Evaluer le rang de la médiane

2°)  Rechercher la classe correspondante au rang trouvé

3°)  Trouver la valeur exacte de la médiane.

 

 

 

x  i

Effectifs  ( n i )

 

 

 

Simples

Cumulées  Croissantes

Cumulées

décroissantes

 

 

]  1000  - 1500 ]

6

6

65

 

 

] 1500 - 2000  ]

12

18

59

 

 

] 2000 - 2500 ]

25

43

47

 

 

] 2 500 - 3000]

17

60

22

 

 

] 3000 - 3500 ]

5

65

5

 

 

 

65

 

 

 

 

-         Recherche du rang de la médiane :

On remarque que l’effectif est impaire  d’où l’évaluation du rang de la médiane :

 

 

 

 

-         recherche de la classe corresponde au 33ème rang :

Nous savons, d’après le tableau , que la valeur « 2000 » correspond au 18ème rang et que la valeur « 2 000 » correspond au 43ème rang. La valeur du 33ème rang se trouve donc comprise entre 1500  à 2000 .

 

La classe médiane est donc bien    1500  à 2000 .

Pour trouver la valeur exacte , on doit procéder à une interpolation linéaire , comme indiquer par le schéma ci-dessus.

 

Calcul de la valeur exacte de la médiane :

La valeur est obtenue en appliquant une simple règle de trois.

Soit la médiane  égale à « 2000 + ( ?=  x)  »

Calcul de la valeur « x » :

On remarque que sur l’intervalle 2000  à 2500 , il y a un effectif de 25

On calcule la valeur de cet intervalle et 2500 - 2000 = 500

On divise  cette valeur « 500 » pour la répartir  pour  à chaque  élément de l’effectif :  500 / 25  = 20  ( valeur de 1 sous intervalle de la classe 2000 à 2500)

1 élément de la classe 2000 à 2500 « vaut » 20 ; pour arriver au rang « 33 » il faut  connaître le nombre de sous intervalle qui part du rang « 18 » au rang « 33 » soit   33 - 18   soit = 15 ; il y  donc 15 sous intervalles  valant « 20 »  soit  15 fois 20  = 300

aussi         x  = 300

Conclusion :la valeur de la médiane est égale à  2000 + 300 = 2300

2°) Détermination par le graphique :

 

 

A partir d’une fonction de répartition (voir les FFC) , la valeur de la médiane peut s’obtenir  de  deux façons :

 

 

1 -  Soit en traçant une parallèle à l’axe des abscisses au point d’ordonnées 50%. De l’intersection de cette droite avec la courbe de répartition , on abaisse une perpendiculaire qui indique sur l’axe des abscisses la valeur de la médiane.

Exemple :à partir du tableau ci dessus ; on a tracée la courbe de  la fonction de « Répartition » ;

 

remarquez : à 50% correspond le rang « 33 » qui fait correspondre la valeur de la médiane « 2300 ».

 

2 - On peut aussi obtenir la valeur de la médiane  en traçant sur le même graphique les deux courbes des effectifs ou des fréquences cumulées croissantes et décroissantes.

Le point d’intersection a pour ordonnée Fi = 50 % et pour abscisse la valeur de la médiane.

 

 

B  )   Dans le cas d’une variable discontinue : ( dit aussi : caractère quantitatif discret)

Info : on rencontrera 2 cas, celui où les termes sont « impairs » ou « pairs ».

 

 

Cas 1 : la série discontinue possède un nombre de termes impairs et ces termes doivent être  connus individuellement .

 

 

Exemple :la série discontinue possède 9 termes :

 

 

(On nous donne la série suivante) :    4 ; 6 ; 8 ; 10 ;12 ;13 ;15 ;16 ;20  . 

 On remarque :

- que les valeurs sont rangés par ordre croissant.

-que  le nombre de valeurs est impair  ( 9 valeurs)

 

 

 

 

4

6

8

10

 

12

 

13

15

16

20

4 termes

Médiane

4 termes

 

La médiane de cette série de 9 nombres rangés par ordre croissant est « 12 ».

 

 

En conclusion : Si l’effectif total est impaire , la médiane est la valeur de la variable (caractère) située au milieu de la série.

 

 

 

 

 

Cas 2 : La série discontinue possède un nombre de termes pairs et ces termes doivent être  connus individuellement .

 

 

Exemple :la série discontinue possède 8 termes : (On nous donne la série suivante) :    6 ; 8 ; 10 ;12 ;13 ;15 ;16 ;20  . 

 

 

 

 

 

6

8

10

12

 

13

15

16

20

 

 

4 valeurs

Médiane

12,5

4 valeurs

 

 

 

La médiane de cette série de 8 nombres rangés par ordre croissant est  

 

 

 

 

Détermination de la médiane par le graphique :

 

A partir d’une fonction de répartition :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3°) Propriétés .

 

La médiane partage l’histogramme en deux aires égales à  1/2 .

Elle dépend plus du rang des unités statistiques observées que des valeurs de la variable, et se trouve peu affectée par les variations des termes extrêmes.

Ce que vous pouvez observer sur les deux représentations graphiques complémentaires.

COMPLEMENT :

 

Ce compléments a pour but de vous montrer comment on peut calculer la va leur de la médiane.

 

Rappel La médiane d'une série statistique est la valeur de la variable telle que le nombre de valeurs qui lui sont inférieurs est égal au nombre de valeurs qui lui sont supérieurs.

 

Graphiquement on peut déterminer sa valeur à l'aide du graphique des effectifs cumulés croissants et décroissants : La médiane est alors la valeur de l'abscisse du point d'intersection de ces deux courbes.

 

Prenons un exemple : Une distribution statistique a été établie après un contrôle radar sur autoroute, on a classé les données ( regroupées en classes) dans le tableau suivant :

 

Vitesse ( km/h)

Nombre de véhicules

[80 ; 100 [

[100 ; 120 [

[120 ; 130 [

[130 ; 140 [

(140 ; 150 [

[150 ; 170 [

[170 ; 190 [

120

90

100

120

40

20

10

Total

500

 

Si on complète ce tableau à l'aide des ECD et ECC  :

 

Vitesse ( km/h)

Nombre de véhicules

ECC

ECD

[80 ; 100 [

[100 ; 120 [

[120 ; 130 [

[130 ; 140 [

[140 ; 150 [

[150 ; 170 [

[170 ; 190 [

120

90

100

120

40

20

10

120

210

310

430

470

490

500

500

380

290

190

70

30

10

Total

500

 

 

 

Le graphique des ECD et ECC est :

 

Graphiquement on peut lire que la valeur de la médiane est environ 125 km/h.

C'est cette valeur qui partage l'effectif en deux soit 250 (graphiquement on lit un peu plus ).

Mais la lecture graphique est imprécise parfois, il est donc nécessaire d'avoir recours aux calculs pour pouvoir déterminer la valeur de cette médiane.


Détermination de la médiane par le calcul

 

Dans l'exemple qui nous intéresse, l'effectif total est 500.

Il va donc falloir trouver la valeur de la vitesse qui partage l'effectif en deux soit 250.

D'après le tableau des ECC, le 250e véhicule se trouve dans la classe [120 ; 130[.

La valeur de la médiane est donc situé dans cet intervalle.

 

Dans l'intervalle [120 ; 130[ il y a 100 véhicules, le 250e véhicule occupe la 40eme place dans cet intervalle.

Pour déterminer la valeur de la médiane, on va considérer que les 100 véhicules de la classe [120 ; 130 [ se répartissent de manière uniforme :

 

Il y a 10 km/h d'écart entre 120 km/h et 130 km/h et 100 véhicules dans cet intervalle donc chaque véhicule sera espacé de:

Si on regroupe ce qui se passe dans une tableau :

 

Rang du véhicule parmi la totalité

Rang du véhicule dans la classe [120 ; 130 [

Vitesse du véhicule

211

212

213

214

215

216

217

………………...ect……………..

248

249

250

1

2

3

4

5

6

7

………………...ect……………..

38

39

40

120

120,1

120,2

120,3

120,4

120,5

120,6

………………...ect……………..

123,8

123,9

124

 

La valeur de la médiane est donc de 124 km/h.

 

On peut la calculer de la manière suivante :

 

La vitesse du premier véhicule dans la classe [120 ; 130[ est 120 km/h.

Or on sait que le 250e occupe la 40eme place dans cet intervalle. Etant donné que les véhicules se répartissent tous les 0,1 km/h, sa vitesse sera donc 120 + 40 ´ 0,1 = 120 + 4 = 124 km/h.

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS :

 

CONTROLE :

 

Donner la définition de la  médiane ?

Comment calcule –t- on la médiane ?

 

EVALUATION

 

1-  soit le tableau ci -dessous

On demande  :

1°)   Evaluer le rang de la médiane .

2°) Rechercher la classe correspondante au rang trouvé

3°) Trouver la valeur exacte de la médiane. Par le calcul puis de vérifier le résultat par le graphique.

 

 

 

x  i

Effectifs  ( n i )

 

 

 

Simples

Cumulées  Croissantes

Cumulées

décroissantes

 

 

]  1000  - 1500 ]

6

6

65

 

 

] 1500 - 2000  ]

12

18

59

 

 

] 2000 - 2500 ]

25

43

47

 

 

] 2 500 - 3000]

17

60

22

 

 

] 3000 - 3500 ]

5

65

5

 

 

 

65

 

 

 

 

 

 

 

3°)  Soit une série statistique  ordonnée, le nombre de donnée est de  25 :

 

a) Que peut -on conclure  à partir de l’énoncé :

 

b)  Quelle le rang de la médiane ? 

 

 

2°) Déterminer la valeur de la médiane par le calcul ; puis vérifier par le graphique.

 

Les mesures sont des observations qui informent

 

Limites des classes

Valeurs centrales

Effectifs: ni

Calcul : appelé calcul des « Fréquences »

158-162

 

160 =

 

 

n1 =  2

 

 

=  0,07  (à 0,01près)

163-167

165

n2 =  4

 

 

= 0,13

168-172

170

n3 =  5

 

 

= 0,17

173-177

175

n4 =  9

 

 

= 0,3

178-182

180

n5 =  6

   

 

= 0,2

183-187

185

n6 =  3

 

 

=  0,1

188-190

190

n7 =  1

 

 

= 0,03

total

 

N =  30

Somme des fréquences = 1

 

 


CORRIGE :

3°)  Soit une série statistique  ordonnée, le nombre de donnée est de  25 :

 

a) Que peut -on conclure  à partir de l’énoncé : il y a  le même nombre de données de part et d'autre de la "médiane".

 

b) quelle le rang de la médiane ?  Ainsi, si dans une série statistique qui  a 25 données la médiane est la treizième valeur.

 

(12 données Ü médianeÞ  12 données)