Autrement dit :

Un capital est placé à intérêts composés , lorsque à la fin de chaque année , l’intérêt s’ajoute au capital pour produire lui-même de l’intérêt. On dit encore que l’intérêt est capitalisé à la fin de chaque année.

Exemple : Une personne place 1 000 euros à 5 % . Au bout d’un an ce capital a produit un intérêt de 50 euros. Si la personne ne perçoit pas ces 50 euros , ils s’ajoutent au capital qui devient 1050 euros. A la fin de la seconde année ce capital de  1050 euros à produit un intérêt de  0,05 euros fois 1050 = 52,50 euros.

Cet intérêt s’ajoutant de nouveau au capital celui-ci devient   1 102, 50 euros . C’est ce capital qui portera intérêt pendant la troisième année et ainsi de suite.

Problème 1 : Quelle est la valeur « A » acquise au bout de « n » années par un capital « C » placé à intérêts composés au taux « t »  . Nous posons r =  ; « r » étant l’intérêt annuel de 1 euro au bout de 1 an de placement.

La valeur acquise par 1 euro est   « 1 + r »    ;  la valeur acquise  de  « C » euros est  « C ( 1 + r ) »

Ainsi la valeur acquise par un capital au bout d’un an est égale au produit de ce capital par ( 1 + r )

   Valeur acquise par le capital « a » au bout de la 2^ème  année .

       C ( 1 + r )   

( 1 + r )    =

C  ( 1 + r ) ²  

Capital au début de la  2^ème année

Valeur acquise par le capital « a » au bout de la  3^ème  année .

C   ( 1 + r ) ²

( 1 + r )    =

C  ( 1 + r ) ³  

Capital au début de la  3^ème année

                                                      A la fin de la   n^ème  année

A =   C  ( 1 + r ) ⁿ   =  C  ( 1 +  ) ⁿ  

Ou

Log A  =  log C + n log ( 1 + r )

( 1 )

Remarque : On convient d’appliquer la formule (1) dans tous les cas , même lorsque la durée du placement n’étant pas un nombre entier d’années « n » est une fraction.

Exemple : Si l’un de nos ancêtres avait placé il y a 200 ans   « C= 100 euros » à intérêts composés au taux de 6 % , de quel capital disposerions nous actuellement en admettant qu’il ait pu nous être transmis sans prélèvement ?

Appliquons la formule  ( 1 )

Log A  =  log C + n log ( 1 + r )

Log A  =  log 100  + 200  log ( 1 ,06  )

Log 1,06 = 0,025306

Log 1,06 = 0,025306

200 Log 1,06 = 5,0612

Log A = 7 , 061 206

Log 100  = 2

Sur la calculatrice :

Taper : 7 , 061 206      inverse   log =     11  513  463  euros ,804840153715497477250398

Généralisation :

Soit « C » le capital placé ,

   « A » ce que devient le capital augmenté de ses intérêts composés au bout de

    « n » années ;  « r » l’intérêt de 1 franc. Ou ( euro : € )

Le capital « A »  , au bout d’un an  , sera devenu   C ( 1 + r )

Le capital « A » , au bout de deux ans  , sera devenu :  C ( 1+ r) ( 1+ r)

               Ou   A =   C ( 1 +  r ) ²

Le capital « A  » , au bout de 3 ans  , sera devenu :  C ( 1+ r)² ( 1+ r)

               Ou  A =  C ( 1 +  r ) ³

 Et ainsi de suite .

Si  l’on représente par « A » , ce que devient le capital « C » au bout de « n » années , on aura l’expression :   A = C ( 1+ r ) ⁿ     ou    A = C  ( 1 +  ) ⁿ      ( 2 )

Si l’on utilise les logarithmes :  on peut écrire :     Log A  =  log C + n log ( 1 + r )          (1)

I)  Calcul  de la valeur obtenue ( A )  par le   capital placé « C » :

On applique la formule : A =   C  ( 1 + r ) ⁿ    ou    A  =  C  ( 1 +  ) ⁿ  

Problème 1   :

Que devient , après  15 ans , une somme de 8000  euros  placée à intérêts composés à 5 % ?

Solution 1 :

La quantité inconnue est   A .

Appliquons la formule : ( on utilise la calculatrice scientifique)

A = 8 000  ( 1 + 0,05)¹⁵

A  = 8000  (2,078928179411367257720947265625)

A = 16631,425435290938061767578125

A = 16 632  euros  à 1 euro  prés .

Commentaire sur l’analyse du résultat obtenu : on voit qu’une somme placée  à intérêts  composés  à 5 %  est plus que doublée au bout de 15 ans .

Pour effectuer le calcul précédent , on peut :

Solution 1 :   Trouver la 15^ème puissance de 1,05  soit avec la calculatrice  scientifique ou  dans une table d’intérêts composés .

Solution 2 :   Effectuer le calcul par les logarithmes .

Solution 2

Calcul par les  logarithmes :

On a  à  effectuer : A = 8 000  ( 1,05)¹⁵

On posera : log  A = log. 8 000  + log 15 log 1,05

  -  calculatrice :   recherche du   log. 8 000 = 3,90309  ………………= . 3,90309

  -  calculatrice   recherche du    15  log. 1,05 =  0,02119 15 ………=     0,31785

                Total :    log  A  = 3,90309  +  0,31785

                            Log A  =  4 ,22094

Recherche de « A »

 Avec la calculatrice :       Soit A  = inv. log 4 ,22094     ;   A  = : 16631 , 828572937439225613768710988

Avec la table des log. :       Le nombre correspondant au log. 4,22094 est , d’après la table : 16632

Conclusion   :  A   =  16 632 euros  à 1  euros  prés .

II)  Calcul  du   capital placé « C » :

De la formule  (1)  on obtient  la formule  suivante   :   

  De la formule ( 2 )     Log A  =  log C + n log ( 1 + r )     ,   par transformation , on obtient :     log C = Log A  - n log ( 1 + r )      

on en tire la formule (2):     log C = Log A  +   n colog ( 1 + r )   (3)

Exemple : Quel capital convient-il de placer à intérêts composés au taux de 5 % lors de la naissance d’un enfant pour lui assurer 25 ans plus tard , une dote de 100 000

Appliquons la formule   ( 2 ) :

     log C = Log A  - n log ( 1 + r )      

      log C = Log 100 000  -   25  log ( 1,05  )       

Calculs intermédiaire :

Log 1,05  =  0 , 021189

  25  log 1,05  =  0,529725

Log A  100 000 =  5 

Log C  =  5  - 0,529725

Log C  = 4, 470275

C  =   inv. log 4, 470275

29530,785562960727707751789757064

Soit le capital à placer :

29 531 euros.

III  ) CALCUL DU TEMPS ou de  « n »

Dans la formule : A = C ( 1+ r ) ⁿ     on peut déterminer la valeur de « n » .

On a : ( 1+ r ) ⁿ   =

Et en appliquant le calcul :     « n » fois le log. ( 1 + r) =  log. A – log. C

et 

Problème 1:

Un capital de 9 000 euros a produit , capital et intérêts composés , une somme de 12 000 euros , le taux étant de 5 % . Combien d’années est-il resté placé ?

Solution :

On aura , d’après la formule :

 12 000 = 9000  ( 1 + 0,05 ) ⁿ

et en appliquant le calcul logarithmique :    n =

on a   log 12000 = 4,07918

      et  log. 9000 = 3,95424

reste   : log     :     0,12494

Or          log. 1,05 = 0,02119 

On aura donc à effectuer la division d’un logarithme par un autre logarithme :

  = 5, 896177442    ;      soit     5 ans 10 mois environ

Problème 2:

Au bout de combien de temps un capital placé à 5%  d’intérêts composés doublera – t –il de valeur ?

Solution :

Prenons pour unité le capital placé  « C »  = 1   et A = 2

Appliquons la formule ci-dessus :

Log 2 = 0,30103

Log 1 = 0

Log 1,05  = 0,02119

Log n = log 0,30103  -   log 0,02119

log 0,30103 =  

  - 0,52139022139877202145213797217432

Log n =  (- 0,52139022139877202145213797217432 )  - (-1,6738690432892054231534034061317)

log 0,02119 =

-1,6738690432892054231534034061317

Log n = 1,1524787786012279785478620278257

« n  =  14,206227937433240939310643298711 » année

Soit   :   14 ans + (  0, 206227937433240939310643298711 fois 360) =    n     =  soit 14 ans 74,2 jours

«  n = =  soit 14 ans 74,2 jours »

Pour qu’un placement  rapporte 3 fois le fond de départ : combien d’année doit durer un prêt :?

Pour qu’un placement  rapporte 4 fois le fond de départ : combien d’année doit durer un prêt :?

Pour qu’un placement  rapporte 5 fois le fond de départ : combien d’année doit durer un prêt : ?

Pour qu’un placement  rapporte 6  fois le fond de départ : combien d’année doit durer un prêt : ?

III) CALCUL DU TAUX  ou DE    « r »

Dans la formule : A = C ( 1+ r ) ⁿ     on peut déterminer la valeur de « r » .

On a : ( 1+ r ) ⁿ   =

( 1 +  r )    =

et   r =   - 1  

               Il faudra  chercher la valeur de     par logarithmes , retourner au nombre et lui soustraire 1 unité .

Problème . 1 :         A quel taux faut-il placer un capital de 10 000 € , pour qu’il produise , capital et intérêts composés , une somme de 15 938 , 48 €  en 8 ans .

Solution :*On aura , d’après la formule :  15 938,48 = 10 000 ( 1+ r ) ⁿ

D’où   r =

Par calcul logarithmique , on a :

                    log.15 938 , 48  = 4,20244

                    log . 10  000      = 4

différence :  log. 0,20244

Ce logarithme doit être divisé par 8 , on a   = 0,02530

Au logarithme correspond le nombre 1,06

Retranchons l’unité , et on a   :   r = 0,06

Le taux était de 6 %

Problème . 2 :         A quel taux ……………. ?    

Ayant calculé  ( 1 + r ) on en déduit facilement « r » .

 Ce problème n’a  pas d’application pratique , on retiendra  qu’  un placement s’effectuant au taux le plus avantageux.