Pré requis  

Intérêts (notion)

 

« Le pourcentage »

 

ENVIRONNEMENT du dossier :

Index        

Objectif précédent :

1°) l’intérêt

2°) le a%

Comptabilité  

)calcul de taux

)calcul de temps

3°) calcul du capital

4°) les intérêts composés

5°) Résumé du cours « intérêts simple ») niveau 4 (bac pro.)

Tableau        189

Les pourcentages ( sommaire)

MATH     FINANCIERE :

Leçon :   LES POURCENTAGES   et INTERETS SIMPLES  

 

 

TEST

           

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité : les pourcentages

                    

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

COURS

 

 

les mathématiques financières mettent en relation une personne (morale ou physique ) qui prête une somme  d ’argent ( appelée : « prêteur » ) et une personne qui « emprunte cet argent  (appelée « emprunteur »  ) .

 

La somme d’argent  prêtée ( appelée « capital ») rapporte de l’argent à celui qui le prête.

L’argent est prêté a un « certain » taux exprimé en pourcentage .Le taux est « l’intérêt » produit par un capital de 100 francs placé pendant un an.

L’intérêt est proportionnel au capital .

Cet intérêt est  appelé « loyer de l’argent »  (ce loyer de l’argent varie ,il est fixé par l’état ou les banques.)

 

Il existe deux types d’intérêt :

 

 

   les intérêts simples :  l’intérêt est dit « simple » lorsqu’il est proportionnel à la durée du prêt.

 

   Les intérêts composés : l’intérêt est dit « composé »  si à la fin de chaque année , l ’ intérêt simple produit pendant  l’année précédente est ajouté au capital, cet intérêt produisant à son tour des  intérêts.   (on dit alors que l’intérêt est « capitalisé » .)

 


LES INTERETS SIMPLES :

 

 

Généralités :

 

  Les variables ,conduisant  à des calculs différents ,  concernant « les intérêts simples » sont :

n      l ‘intérêt lui même  (on peut avoir à rechercher le montant de l’intérêt) que l’on notera par la lettre «  I »

n      le capital (on peut avoir à rechercher le montant du capital placé)que l’on notera par la lettre «  C »

n      le taux de placement  (on peut avoir à rechercher le taux de placement )que l’on notera par l a lettre « t ».Le taux s’exprimant en « pour cent », on écrira  « t %  ,ce qui donne la fraction  » 

n      la durée du placement  (en effet le montant de l’intérêt étant proportionnel à la durée du placement ,on peut avoir à rechercher la durée (en  an , mois ou  et jours) du placement. Que l’on notera par la lettre  « m » si l’on désire avoir le temps de placement en mois  ou que l’on notera par  la lettre  « n » si l’on veut exprimer le temps de placement en jours .

 

    Par définition : l’intérêt simple est la somme d’argent que rapporte par un capital  (prêté si l’on se place du coté du prêteur) placé pendant un an . C’est aussi la somme d’argent que doit verser un emprunteur pour ce même capital emprunté pendant un an

 

 Attention la notion de temps est fondamental ,elle intervient obligatoirement dans le calcul du montant des intérêts ,à toucher ou à verser.

                                Intérêts  = ( Capital    )durée .

 

On peut calculer ce que rapporte un capital en fonction du temps de placement :

Cas 1 :  l’argent est placé pendant un an

Cas 2 : l’argent est placé pendant un « certain »  nombre de mois

Cas 3 : l’ argent est placé pendant un « certain »  nombre de jours .

 

(Voir les trois cas pages suivantes ).........................

 

 

Ce que l’on peut demander :

 

A)   Savoir faire le calcul de l’intérêt. en fonction  de la durée exprimée « an » ;  « mois »  et  ou  « jours »

 

B )  à partir de la relation mathématique utilisée précédemment ,on peut demander de savoir :

 

- Faire un calcul de capital.

- Faire un calcul de taux de placement.

-  Faire le calcul de la durée de placement.

 

 

 

 

>>>Calcul de l’intérêt.

 

En fonction  de la durée exprimée « an » ;  « mois »  ou  « jours »

 


Premier cas :

 

« ON PLACE L’ARGENT PENDANT UN AN » :

 

Calcul du montant de l ’ intérêt  rapporté par un capital placé pendant un an :

 

 

A savoir :  L ‘ intérêt rapporté par un capital prêté pendant un an est égal  au produit du capital par le taux pour cent par « un » an .

 

Traduction :   I  = ( C    )1   ,

 

 ce qui donne , par transformations successives  :

 I  = C 

I =  

 

I = 

 

 

      à retenir :                                                         I =  

 

 

 

APPLICATION :

 

        Calculer le revenu annuel  d’une somme de 7500 €  placée à   4,5 %.

 

Résolution :

 

1)    soit l’égalité : I = 

2)    J’identifie :

         C  = 7500      ;   t  =  4,5     ; I = ?

 

3)    Je remplace dans (1)

 

          I =   ( 7500  4, 5 ) : 100  

4)    Calcul(s)

 

a)    7500 fois 4,5 =  33750   ; b)    33750 : 100  =  337,50

 

5) Conclusion : l’intérêt rapporté par un capital de 7500 €  placé à 4,5 % en un an rapporte : 337,50 

 

 

 

 


II ) CAS :  ON PLACE L’ARGENT PENDANT « m » MOIS :

 

Si l’on place l’argent  pendant un « certain nombre de mois »  ( m)  :

 

On dira : que L ‘ intérêt rapporté par un capital prêté pendant un an est égal  au produit du capital par le taux pour cent par « un » an .Pour trouver le montant de l’intérêt  gagné en « m » mois de placement ,  on divisera l’intérêt  par 12  ( 12 mois dans une année)pour connaître le montant de l’intérêt rapporté en un mois  ,le résultat trouvait sera multiplié par « m » le nombre de mois correspondant à la durée du placement  .

 

1 ) On calcul le montant de  I : I = 

2 ) on divise  I par 12 : (pour connaître le montant de I pour un mois de placement )

 

 

I (pour 1 mois )=   : 12

 

3 ) On calcul le montant de I pour « m » mois de placement :

 

  I (pour « m »)  = ( : 12 ) m

 

 

Ce qui donne la formule :

 

                                                     pour « m » mois  I = 

 

APPLICATION :

 

        Calculer le revenu des intérêts   d’une somme de 7500 € placée à   4,5 %  pendant  3 mois .

 

Première méthode :  (on procède par étape)

 

Résolution :

A  )  Calcul du capital placé  pour un an :

1)    soit l’égalité : I = 

2)    J’identifie :

         C  = 7500      ;   t  =  4,5     ; I = ?

 

3)    Je remplace dans (1)

 

          I =   ( 7500  4, 5 ) : 100  

4)    Calcul(s)

 

a)    7500 fois 4,5 =  33750   ; b)    33750 : 100  =  337,50

 

5) première conclusion : l’intérêt rapporté par un capital de 7500   placé à 4,5 % en un an rapporte : 337,50 

 

B )  Calcul de l’intérêt rapporté en un mois :    337.50 : 12  =  28,125

 

C ) Calcul de l’intérêt rapporté en trois mois :    28 , 125 3  =  84,375

 

D ) Conclusion : L’intérêt rapporté par un capital de 7500 F  placé à 4,5 % pendant trois mois est de  : 84, 38 

 

 

 

 

Deuxième méthode :   « calcul direct »

On utilise la relation suivante :       pour « m » mois  I = 

 

 

 

1 )  soit :     I = 

2)    on identifie :

 

       I= ? ;  C = 7500   ; t = 4,5 ; m = 3

3)    on remplace :   dans (1)                         I = (75004,5 3) : 1200 

4)    Calculs :

 

7500 fois 4,5 = 33750

33750 fois 3 = 101250

101250 :1200 = 84.375

 

5 )    Conclusion :     l’intérêt rapporté par un capital de 7500 €  placé à 4,5 % pendant trois mois est de  : 84, 38 

 

 


III cas )   DUREE   DE    PLACEMENT     EN  «  n » JOURS :                                                                                  

 

On place l’argent  pendant un « certain nombre de jours  »  ( n)  :

 

     (pour simplifier les calculs ,on considère que l’année commerciale comporte  360 jours)

 

On sait que  L ‘ intérêt rapporté par un capital prêté pendant un an est égal  au produit du capital par le taux pour cent par « un » an .

         Pour trouver le montant de l’intérêt  gagné en «n » jours de placement ,  on divisera l’intérêt  par 360    ( 360 jours dans une année commerciale ) pour connaître le montant de l’intérêt rapporté en « un »  jours   ,ce résultat trouvait sera multiplié par «n »  ( le nombre de jours  correspondant à la durée du placement  )  .

 

1 ) On calcul le montant de  I : I = 

 

2 ) on divise  I par 12 : (pour connaître le montant de I pour un mois de placement )

 

 

I (pour 1 mois )=   : 360

 

3 ) On calcul le montant de I pour « n » jours  de placement :

 

  I (pour «n »jours )  = ( : 360) n

 

 

Ce qui donne la formule :

 

pour «n »jours     I   = 

 

 APPLICATION :

 

        Calculer le revenu des intérêts   d’une somme de 7500 € placée à   4,5 %  pendant 72 jours .

 

 

Première méthode de résolution  :  (on procède par étape successive )

 

Résolution :

A  )  Calcul du capital placé  pour un an :

1)    soit l’égalité : I = 

2)    J’identifie :

         C  = 7500      ;   t  =  4,5     ; I = ?

 

3)    Je remplace dans (1)

 

          I =   ( 7500  4, 5 ) : 100  

4)    Calcul(s)

 

a)    7500 fois 4,5 =  33750   ; b)    33750 : 100  =  337,50

 

5) première conclusion : l’intérêt rapporté par un capital de 7500   placé à 4,5 % en un an rapporte : 337,50 

 

B )  Calcul de l’intérêt rapporté en un jour :    337.50 : 360 =  0,9375

 

C ) Calcul de l’intérêt rapporté en trois mois : 0,9375 72  =  67,50

 

D ) Conclusion :     l’intérêt rapporté par un capital de 7500 F  placé à 4,5 % pendant 72 jours  est de  :  67,50 €

 

 

 

 

Deuxième méthode  de résolution :

 

On utilise la relation suivante : pour «n »jours     I   = 

 

 

 

 

1 )  soit pour «n »jours     I   = 

 

2)    on identifie :

 

       I= ? ;  C = 7500   ; t = 4,5 ; n= 72

3)    on remplace :   dans (1)                         I = (75004,5 72) : 36000 

4)    Calculs :

 

7500 fois 4,5 = 33750

33750 fois 72 = 2430000

2430000 :36000 = 67,50

 

5 )    Conclusion :

      l’intérêt rapporté par un capital de 7500 F  placé à 4,5 % pendant 72 jours  est de  : 67, 50 €

 

TRAVAUX AUTO – FORMATIFS  ( devoir type )


CONTROLE

Répondre aux questions suivantes :

 

1.       Comment nomme - t- on la personne qui prête de l’argent ?

2.    Comment nomme  - t - on la personne qui emprunteur de l’argent ?

3.    Comment appelle -t- on la somme d ’argent que l’on emprunte ou que l’on prêt ?

4.     Compléter la phrase : L’argent est prêté à un « certain » ......... ; exprimé en ...........

5.    Qu’appelle t - on taux ?

6.    Que rapporte  l’argent prêté ?

7.     Quelle est la relation qui lie le taux et le capital. ?

8.    Qu’appelle - t on «  loyer de l’argent » 

9.    Combien existe - t - il  de types d’intérêt ?

 

10.   Quand dit -  t - on que « l’intérêt est  simple »

 

11.     Un intérêt qui n’est pas « simple » est dit « intérêt ...................... »

 

12.   Quand dit - t - on que l’intérêt est « composé » ?

13.   Que devient l’intérêt au bout d’un an ?

14.    

LES INTERETS SIMPLES :

 

1.       Quelles sont les variables qui interviennent dans le calcul des intérêts simples ?

 

2.    traduire en écrit littéral :               Intérêts  = ( Capital    )durée .

3.    Que  peut - on dire concernant la durée de placement et le montant de l’intérêt ?

4.     Compléter la phrase : l’intérêt simple est la somme d’argent que rapporte.............................pendant ..................

5.    Combien de jours  retient - on  pour une année commerciale ? 

 

6.    Quels sont les variables « temps » utilisés ,distinctement, pour le calcul des intérêts ?

 

7.     Voici trois relations mathématiques utilisées  pour le calcul «  d ’ intérêts » ;préciser la particularités de chacune d’elles .

     1 °)           I =   

    2° )            I =   

   3° )             I   = 

 

EVALUATION :

 

 I )    Calculer le revenu annuel  d’une somme de 7500 F placée à   4,5 %.

II)     Calculer le revenu des intérêts   d’une somme de 7500 F placée à   4,5 %  pendant  3 mois .

III )  Calculer le revenu des intérêts   d’une somme de 7500 F placée à   4,5 %  pendant 72 jours .

 

 

 

Faire un calcul de capital.

Exercice : Trouver le capital qui , placé à  4,5 %,à produit en 72 jours un intérêt de 54 €

 

 

Faire un calcul de taux de placement.

 

Exercice : Trouver à quel taux a été placé un capital de 5 000    , sachant qu’en 7 mois  l’ intérêt   produit  a été  de 350 € .

 

 

 

Faire le calcul de la durée de placement.

Exercice : Trouver combien de temps il faut placer 8 000 €  à intérêt simple au taux de 4,5 % pour que l’intérêt produit soit de 100 €  .

 


Les caisses d’épargne :

 

Les caisses d ‘épargne ( caisse d’épargne et de prévoyance  , caisse nationale d’épargne ) reposent sur les  mêmes principes : l’argent placé est disponible à tout moment. ’intérêt est calculé par quinzaine, il part du 1er ou du 16  (du mois qui à suivi le versement , et cesse le  1 ou le  16 du mois qui a précédé le remboursement.

 

 Ainsi le retrait le 15février ou le 15 mai d’une somme destinée à payer le tiers provisionnel fait perdre l’intérêt correspondant à la première quinzaine du mois considéré.

 

 

Exemple d’un compte de caisse d’épargne.

 

 Le calcul est effectué avec un taux annuel de 8,5 %, ce qui fournit un  taux proportionnel de 0,354 % par quinzaine  ( diviser 8,5 par 24 )

 

 

Date

versement

nombre de quinzaines

intérêt

date

retrait

nombre de quinzaines

intérêt

1/1

(report)

7/3

15/4

12/7

7/9

640

 

500

300

400

500 

24

 

19

17

11

   7

54.40

 

33,75

18,06

15,58

12,40

13/5

 

29/10

900

 

400

 

 

 

 

 

15

 

4

47,81

 

5,67

 

 

 

 

 

 

2340

 

134,09

 

 

1300

 

53,48

l’ « avoir » au 31/12 sera de :  (2340+134.09)-(1300+53,48)  = 1 120,61 F

      

        Pour chaque opération, on calcule les intérêts jusqu'à la fin de l’année ;ceux de la colonne 4 sont donc à ajouter, tandis que ceux de la colonne 8 sont à retrancher.

 

Remarque : le dépôt d’une somme C au cours d’une quinzaine suivi du retrait de cette même somme avant la fin de la quinzaine se traduit par un intérêt négatif du capital C pendant une quinzaine .(cela afin de décourager les dépôts  trop brefs et des écritures inconsidérées.)

 

  Refaire les calculs en appliquant le taux actuel de 4,5 %

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