Pré requis:

 

Le carré d’un nombre

 

Les identités remarquables…

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index        

Objectif précédent :

Vocabulaire..

Développement ( x + a) ²

Lecture : « arrangement ;..permutation »

Objectif suivant :

 

tableau    .

DOSSIER :  ce qu’il faut savoir pour comprendre :  Le binôme de newton.

La découverte du binôme de Newton, par ses applications nombreuses,fit faire un pas immense à la science algébrique. Cette formule  est la base de la théorie générale des équations et de la haute analyse. La seule application que nous en ferons ici,ce sera d’en déduire la théorie de la formation des puissances et de l’extraction des racines de tous les degrés, pour les quantités numériques seulement.

 

TEST

 

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

 

A voir : probabilité -Exercices…

Interdisciplinarité

                       

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation  

Vocabulaire : on appelle « x+a » :   racine


 

COURS

 

Point  I  )   Les puissances successives d’un binôme , tel que «  x + a »  , c'est-à-dire qu’une quantité composée de deux parties distinctes,sont soumises à des lois importantes qui, une fois connues,permettent de former et d’écrire sur le champ une puissance quelconque de ce binôme sans passer par les puissances intermédiaires. La découverte de ces lois est due au célèbre géomètre Newton ; aussi la formule générale qui les exprime porte – t- elle le nom de développement du binôme de Newton.

 

Pour rendre sensible ce théorème,il faut exécuter quelques –unes des puissances de «  x+a » par les moyens ordinaires, c'est-à-dire par les multiplications successives.

 

Nous aurons d’abord le carré que nous connaissons   ( x + a ) ² =     + 2 ax + a²

 

Ce carré,multiplié par la racine « x + a » ,donnera le cube , ce dernier ,multiplié encore par «  x + a » fournira la  4ème puissance, ensuite la 5ème , etc …. ; comme on le voit ci après.

 

 

( x + a ) ²

  + 2 ax + a²

 

 

 

( facteur de :   ……………………………….)

             x + a

 

 

 

 

       +     a x²   +  2 a² x  +  a 3

 

 

 

 

                                                          x3   +   2 a x²   +    a² x

 

 

 

( x + a ) 3             =

x3   +   3 a x2   +  3 a2 x  +  a 3

 

 

 

( facteur de :   ……………………………….)

                                  x +   a

 

 

 

 

a x3  +   3 a² x²  +   3 a3 x  + a 4

 

 

 

 

                                                       x4   + 3 a x3  +   3 a² x²  +     a 3 x

 

 

 

( x + a ) 4    =

                                                     x4   + 4 a x3  +   6 a2x2  +   4 a 3 x + a 4

 

 

( facteur de :   ……………………………….)

     x +   a

 

 

 

 

  ax4   + 4 a² x3  +   6 a3   +   4 a 4 x + a 5

 

 

 

 

                                       x5   + 4 a x4   +  6 a² x3  +  4 a 3   +   a 4x

 

 

 

( x + a ) 5     =

                                      x5   + 5 a x4 +  10 a² x3  +  10 a 3  +  5 a 4x + a 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sans aller plus loin, nous pouvons constater, dans ces développement, trois lois évidentes:

1°) Le nombre de termes dans chaque puissance est égal au degré de la puissance augmenté d’une unité.

 

2°)Le premier terme du développement est formé du premier terme « x » de la racine , affecté du même exposant que celui de la puissance et n’ayant pour coefficient que l’unité. Ce même terme « x » entre dans les termes suivants avec des exposants qui diminuent successivement d’une  unité  jusqu’au dernier terme du développement qui ne contient plus « x ».

 

3°) Le second terme « a » de la racine suit, dans le développement, une marche inverse à celle du premier terme « x » ; ses exposants augmentent successivement d’une unité jusqu’au dernier terme du développement qui ne contient plus que « a » élevé au degré de la puissance formée, sans autre coefficient que l’unité.

 

Ainsi , dans la 6ème puissance de « x + a » , on aurait

 

x6 ; a x5 ; a2 x4 ; a 3 x3 ; a4 x2 ; a5 x; a6

 

A vous de continuer ;.........................

 

Quant  aux coefficients numériques qui affectent les  divers termes dans ces développements, ils sont bien soumis aussi à une loi constante, mais elle n’est point saisissable ici.

 

II )   Pour rendre évidente la loi de formation de ces coefficients numériques, il faut non pas faire les puissances du même binôme, mais former les produits successifs de facteurs binômes, tels que « x+a » , « x + b », « x + c » , etc.……, lesquels facteurs aient pour premier terme la même quantité « x », et dont les second termes « a, b , c ,  etc.… »  soient différents. Multiplions donc « x + a » par «  x +b », ensuite le produit par « x+c » , ce second produit par le quatrième facteur « x+d », et ainsi de suite , nous aurons, en ayant soin d’ordonner convenablement ces produits.

 

(x + a) ( x + b)  = 

x2

+  a

x

+ ab

 

 

+  b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pour :

(x + a) ( x + b)  ( x + c) =

x 3

+  a

x  2

+ ab

x

+ abc

 

 

 

 

+  b

 

+ ac

 

 

 

 

 

 

+ c

 

+ bc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pour :

(x + a) ( x + b)  ( x + c) ( x + d) =

x 4

+  a

x  3

+ ab

x2

+ abc

x  + abcd

 

 

 

+  b

 

+ ac

 

+ abd

 

 

 

 

+ c

 

+ bc

 

+ acd

 

 

 

 

+ d

 

+ad

 

+ bcd

 

 

 

 

 

 

+ bd

 

 

 

 

 

 

 

 

+ cd

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pour :

(x + a) ( x + b)  ( x + c) ( x + d) ( x + f )  =

x 5

+  a

x  4

+ ab

x3

+ abc

x  2

+ abcd

x  + abcdf

 

 

+  b

 

+ ac

 

+ abd

 

+ abcf

 

 

 

+ c

 

+ ad

 

+ acd

 

+ abdf

 

 

 

+ d

 

+a f

 

+ bcd

 

+bcdf

 

 

 

+ f

 

+ bc

 

+ abf

 

 

 

 

 

 

 

+ bd

 

+ acf

 

 

 

 

 

 

 

+ b f

 

+ bcf

 

 

 

 

 

 

 

+ cd

 

+ adf

 

 

 

 

 

 

 

+ cf

 

+ bdf

 

 

 

 

 

 

 

+ df

 

+ cdf

 

 

                                                                                  

Dans ces divers produits, qu’on peut prolonger indéfiniment, le terne « x »,commun aux facteurs binômes, suit la loi indiquée ci-dessus pour les puissances de « x + a » ; ainsi, dans le cas de cinq facteurs , nous avons « x5 »,  « x4 »,  « x3 »,  « x2 », « x1 »,   .Quant aux seconds termes « a,b,c, …etc. » de ces facteurs,ils se groupent de diverses manières pour former, dans les produits , les coefficients des puissances successives de « x ». Or, d’après les notions du chapitre précédent, on reconnaît :

- que le coefficient du second terme    « x4 » est la somme de «  a + b + c + d + f »  des seconds termes des facteurs binômes.

- que le coefficient du troisième terme « x3 » est composé de la somme de tous les produits différents que l’on peut former en combinant 2 à 2 les seconds termes « a , b , c ,  …. » des facteurs binômes.

- que le coefficient du quatrième terme « x2 » est composé de la somme de tous les produits différents que l’on peut former en combinant 3 à 3 les seconds termes « a , b , c ,  …. » ;

-  que le coefficient du cinquième terme « x » est la somme des produits différents de ces mêmes seconds termes « a , b , c ,  …. » pris 4 à 4 ;

- enfin ,que le dernier terme « abcdf » est le produit de tous les seconds termes a,b ,c , etc.… On conclut de là que si l’on formait le produit de six, sept ,etc.., et en général d’un nombre quelconque « m » de facteurs binômes,les lois remarquées ci-dessus persisteraient constamment,c’est à ire que la loi des exposants serait la même que pour les puissances de « x + a » ; que le premier terme du produit n’aurait pas d’autre coefficient que l’unité ;que le coefficient  du second terme serait la somme des seconds termes des facteurs binômes ;que le coefficient du troisième terme se composerait de la somme des combinaisons deux à deux ( 2 à 2)de ces seconds termes ;que le coefficient du quatrième terme serait formé de la somme des combinaisons 3 à 3 de ces mêmes seconds termes, et ainsi de suite, de telle sorte que le coefficient du terme placé au « n me » rang serait la somme des combinaisons «  n-1 » à « n-1 » des seconds termes « a, b, c, , etc. » des facteurs binômes ; en fin que le dernier terme se composerait du produit de tous ces seconds termes..

 

III) DEMONSTRATION : Pour démontrer,au reste , que ces lois sont générales , il suffit de prouver que, si elles sont vraies pour le produit d’un nombre donné de facteurs binômes,elles seront encore vraies en introduisant un facteur de plus.

 

Supposons donc qu’un nombre « m » de facteurs binômes «  x + a » ,  « x + b » , etc. …..multipliés entre eux,aient donné un produit dans lequel existent les lois ci-dessus ; ce produit aura la forme suivante :

 

[ G ] :        x m + A x m-1  + B x m-2  + C x m-3  +.......................P  ,  c’est à dire que dans cette  expression les coefficients, représentés par les lettres A , B , C , etc…, ont pour valeur

 

 

A =  a +  b + c + d + ……..

           B = ab + ac + ad + ……………………..

          C = abc + abd + bcd + ...................

.....................................................

 

Cela posé , multiplions ce polynôme [ G ] par un nouveau facteur binôme  « x + k » ,et cherchons quel sera la composition du nouveau produit :

 

 

X m

+ A x m - 1

+ B x m - 2

C x m - 3

+ ………

P

 

 

 

(facteur de )

 

 

 

 

x

+ K

 

 

 

 [ H  ]

x m+1

+ A x m

+ B x m - 1

C x m - 2

+ ………

P x

 

 

 

 

 

+ K x m

+ A K x m-1

B K x m-2

…………

……..

PK

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Soit   [ H  ]   =  x m+1  +  ( A + K)   x m   +    ( AK + B )   x m - 1    +  ( BK + C)    x m - 2    +  ……………………+   P x  + PK

 

 

 

Dans ce produit  [ H  ] de  « m+1 » facteurs binômes,nous reconnaissons d’abord que la loi des exposants de « x » est conservée, puisque le premier terme « x m+1  » a pour exposant le nombre de facteurs employés, et que dans les termes suivants les exposants de cette lettre vont en diminuant d’une unité jusqu’au dernier terme qui ne contient plus « x ».

 

Quant aux coefficients,il est facile de voir qu’ils ont conservé la même loi de formation que dans le produit [ G ]  . En effet ,

 

Le premier terme a pour coefficient l’unité.

 

Le second terme ( A + K) x m  ou bien ( a + b + C + ….+K) x m   ) a évidemment pour coefficient la somme «  m + 1 » ,seconds termes des facteurs binômes.

 

Le coefficient du troisième terme   ( AK + B )   x m - 1    se compose :

1° )  de B = ab + ac + bc + etc…..   ou bien les combinaisons 2 à 2 des « m » seconds termes relatifs au produit [G] ;

2°)et de  AK =  ( a + b + c + …..) K  qui est égal  (=) a K + b k + ck …….. , c'est-à-dire des combinaisons 2 à 2 que forme le nouveau second terme « K » avec les « m » anciens : donc, B + AK est la somme totale des combinaisons 2 à 2 que peuvent former les « m+1 » seconds termes des facteurs binômes  qui composent le produit [ H ] .

 

Le coefficient du quatrième ( C + BK) xm-2  contient   C = abc + abd + bcd + …… combinaisons 3 à 3 des « m » anciens seconds termes , plus  BK =  ( ab + ac + bd +……) K  ,soit  =  abK + acK + bd K+….. combinaisons 3 à 3 que relatives au nouveau terme K , c'est-à-dire  C + BK  renferme toutes les combinaisons 3 à 3 que peuvent donner les « m+1 » seconds termes des binômes.

 

On prouverait, par un raisonnement analogue, que tous les coefficients suivants sont la somme des combinaisons successives 4 à 4  , 5 à 5 , 6 à 6 , stc, qu’on peut former avec les seconds termes des « m+1 » facteurs binômes qui composent le produit [H]  .

Enfin le dernier terme PK est le produit de ces « m+1 » secondes termes , puisque P représente le produit des « m » termes anciens.

 

Donc , les lois reconnues dans le polynôme   [G] ,produit de « m » facteurs binômes, se sont conservées dans le polynôme [H] ,produit qui contient un facteur de plus.

Or,ces lois ont été vérifiées par expérience ( voir point II)  dans les produits de deux , de trois,,de quatre et de cinq facteurs binômes :donc elles sont vraies pour six facteurs,pour sept,etc. , pour un nombre quelconque ;donc,enfin,elles sont générales.

 

 

III )  Maintenant si nous observons que les termes « a,b,c,etc.  des facteurs binômes employés sont quelconques,rien ne s’opposera à ce que nous admettions que dans un certain cas ces seconds termes deviennent égaux,et cette égalité ne détruira nullement les lois reconnues.

 

Mais si l’on fait a = b = c = d = f = ……dans les produits du point II , ces produits deviendront parfaitement identiques aux puissances respectives du point I .En effet, dans le dernier,par exemple, les cinq facteurs binômes  x + a , x + c, etc.  .. seront égaux et l’on aura :

( x + a ) ( x + b ) ( x + c ) ( x + d ) ( x + f ) =  ( x + a ) 5

D’un autre côté, le coefficient du second terme  “ a + b + c + d + f ”  deviendra « 5 fois a »   ou  « 5a » .

Dans le coefficient «  ab + ac + ad+ ;;;;; » du troisième terme ,les combinaisons deux à deux seront des carrés,et l’on aura 10 fois a² .

Les combinaisons 3 à 3 du coefficient abc + abd+ + etc., du quatrième terme seront égales chacune au cube « a3 »,et cette puissance se trouvera répétée 10 fois encore….

 

De même les combinaisons 4 à 4 : abcd + abcf + ………..du cinquième terme deviendront 5 fois la  quatrième puissance  de « a »   ou « 5 a 4 » .

 

Enfin, le dernier terme « abcdf » sera la  cinquième  puissance de « a » ou « a5 »

Donc, la supposition  «  a = b = c = d= f »……rend les produits du   point II   identiques aux puissances du  point I

 

Point IV : mais la démonstration du point III  permet d’étendre ces relations à un nombre quelconque « m » de facteurs et par suite à la nième puissance du même binôme.

 

En conséquence , si dans le produit [G] on suppose égaux les seconds termes  «  a = b = c = …etc. , il sera facile de déterminer la valeur des coefficients A , B , C , etc. …. ; en effet :

 

Le coefficient A du second terme étant la somme des seconds termes « a + b + c+… » ,deviendra égal au terme « a » répété « m » fois , et l’on aura  « A = ma ».

 

Pour le coefficient B = ab + ac + bc+ ……., on aura B = a² + a² + …., c'est-à-dire le carré « a² » répété autant de fois qu’il y a de combinaisons 2 à 2 dans « m » lettres ; or, nous avons vu  dans le cours sur les combinaisons   que le nombre de combinaisons 2 à 2c est exprimé par la formule :   on aura donc    

De même les combinaisons 3 à 3 du coefficient « C » du quatrième terme deviendrons chacune « a3 » ,et cette puissance sera répétée autant de fois qu’il y a de combinaisons 3 à 3 dans « m » lettres c'est-à-dire  ; donc    

Le coefficient du terme suivant « D » serait « a4 » multiplié par le nombre qui exprime les combinaisons 4 à 4 qu’on peut former avec « m » lettres, et l’on aurait

  et ainsi de suite ….

Enfin,le dernier terme « P » sera la m ième puissance de « a », et l’on aura « P = a « 

 

 

En conséquence,on aura pour la formule du binôme de newton,ou de la puissance m ième d’un binôme « x + a », le développement ci-dessous ,de ( x + a)m

 

Ce qui donne la formule [B]

 

 

La composition de ce développement qui contient « m+1 »termes tous positifs, est soumise à une loi si simple,que rien n’est plus facile que de prolonger indéfiniment et d’écrire séparément un terme d’un rang donné.

En effet,puisque les exposants de « x » vont en diminuant d’une unité depuis le premier terme « xm » qui ne contient pas « a » jusqu’au dernier terme « am » qui ne contient pas de « x »,pendant que ceux de « a » vont en augmentant,il en résulte que dans tous les termes intermédiaires les exposants de « x » et de « a » sont complémentaires et que leur somme est constamment égale à « m » ;  c’est ainsi que l’on a   « a²xm-2 « , « a3x m-3 » ,  ..a5 xm-5 » , et en général  « an xm-n » ,donc, pour chaque terme,l’exposant de « a » fait connaître l’exposant de « x », et réciproquement .

Mais l’exposant de « a »,toujours moindre d’une unité que le nombre qui marque le rang du terme que l’on considère,est égal au nombre des termes qui précédent ; par conséquent,ls exposants d’un terme quelconque sont faciles à déterminer :ainsi, dans le vingtième terme,on aura « a19 x m-19 ».

 

Quant aux coefficients numériques  marqués par les expressions  m ;  ; , etc ils sont faciles aussi à calculer,puisqu’ils désignent les nombres respectifs des combinaisons 1 à 1 ; 2 à 2 ; 3 à 3 ;etc….de « m » lettres , et que pour un terme quelconque l’espèce de ces combinaisons est marquée par l’exposant de « a » dans ce terme ;d’après cela,le vingtième terme du développement sera :

 

 

En résumé , en appelant « T » un terme quelconque du binôme de Newton, et « n +1»  son rang , on aura :

 

écrit autrement :                      ( soit l’écriture  « n ! »    : lire « n factoriel »)

 

 Ce terme général sert à former chaque terme du développement en faisant tour à tous «  n = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ;……. »

 

Il est à remarquer que, dans le développement de la puissance d’un binôme,les deux termes également éloignés des extrêmes ont le même coefficient numérique, car (nous avons vu  dans le cours sur   la théorie des combinaisons   que les combinaisons 3 à 3, par exemple de « m » lettres,sont en même nombre que les combinaisons « m-3 » à « m-3 » des mêmes lettres .

 

Point IV) Cas  un terme est négatif.

Nous avons supposé que le binôme « x+a » pris pour racine avait deux termes positifs ; mais si l’un d’eux était négatif,  , « a » par exemple, et qu’on eût formé le développement de ( x –a)m , il est évident que les signes des termes auraient été alternativement positifs et négatifs, parce que les puissances impaires de « a » conserveraient le signe « -«   , on trouverait donc alors cette autre formule  [ C]   

 

 

Point V : Applications des deux cas :

 Au moyen des formules [B ]  et    [C],on pourra obtenir toutes les puissances d’un binôme ;il suffira de faire « m » égal au degré de cette puissance. Pour application , supposons qu’on demande la septième puissance de « x+a » et « x-a » ; en posant « m=7 »,

 

la formule B  donnera :  ( x + a ) 7 = x7  + 7 a x6 + 21a²x5 + 35 a3x4 + 35 a4 x3 + 21 a5 x²+ 7a6x+ a7

et

la formule C deviendra :  ( x + a ) 7 = x7  -  7 a x6 + 21a²x5 -  35 a3x4 + 35 a4 x3 -  21 a5 x²+ 7a6x  - a7

 

 

Point VI : MAIS, dans les formules (la formule B  ) et ( formule C) , les deux termes « x » et « a » de la racine représentent des quantités quelconques ; on a donc le moyen de former la puissance « m i ême » de toutes quantités algébriques composées de deux parties.

Ainsi ,par exemple,si l’on demandait la quatrième puissance du binômes « 3a²b + 5b² », on ferait,

Dans la formule B ,  « x = 3a²b » et « a = 5b²» et « m=4 »  et elle deviendrait :

( 3 a²b+5b²)4 =  ( 3a²b)4 + 4 ( 5b²) (3a²b)3 + 6 ( 5b²)²(3a²b)²+ 4 ( 5b²)3(3a²b) + (5b²)4

                                                          Ou 

( 3 a²b+5b²)4 =  81 a8 b4  + 540 a6b5 + 1350 a4 b6 + 1500 a² b7 + 625 b8

 

 

Point VII .Parmi toutes les valeurs que peuvent prendre “x” et “a” dans la formule du binôme,il est un cas remarquable,c’est celui où l’on a a « x =1 » et « a= 1 ». Dans cette supposition, la formule « B » donne la suivante [b] :

tandis que la formule [C]  devient [c]

 

 

 

L’égalité [b] contient,dans son second membre,tous les coefficients du binôme ;ainsi,ce membre se compose de la somme de toutes les combinaisons de « m » lettres prises 1 à 1 ; 2à 2 ; 3 à 3 ;4 à 4 ;.etc….plus l’unité :

Par conséquent , cette somme est égale à 2m,c'est-à-dire à 2 élevé à la puissance marquée par le degré du binôme. 

L’égalité [c] prouve que la somme des coefficients des termes de rend impairs est égale à la somme des coefficients de rangs pairs.

 

Point VIII.  La découverte du binôme de Newton, par ses applications nombreuses,fit faire un pas immense à la science algébrique. Cette formule  est la base de la théorie générale des équations et de la haute analyse. La seule application que nous en ferons ici,ce sera d’en déduire la théorie de la formation des puissances et de l’extraction des racines de tous les degrés, pour les quantités numériques seulement.

 

Point IX : Extraire une racine mième d’un nombre N

Supposons donc que l’on ait à extraire la racine mième d’un nombre N ;voici comment il faudra raisonner :

Si le nombre donné N est moindre que 10 m ou que l’unité suivi de « m » zéros, sa racine mième sera plus petite que 10 et n’aura qu’un seul chiffre à sa partie entière ;il faudra donc former les  mième  puissances des neufs premiers nombres entiers 1 ;2 ;3 ……9 pour connaître cette racine ou sa partie entière.

 

Mais dans le cas où N > 10 m ,la racine demandée contiendra plus d’un chiffre et refermera,par conséquent, des unités et des dizaines .Si donc on  représente par « a » les unités et par « x » les dizaines,cette racine sera « x+a » , et l’on aura,d’après la formule du binôme :

N = ( x + a)m  =  xm  + m a xm-1+.....+ am

 

C’est à dire que le nombre N devra être considéré comme la réunion de « m+1 » parties distinctes faciles à former séparément.

Ces parties sont :

1°) la mième puissance des dizaines de la racine ;

2°) »m » fois la (m-1) ième puissance des dizaines multipliées par les unités ;

3°) etc ….Enfin, la  mième puissance des unités.

 

Cette composition étant connue,nous pourrons déterminer successivement les divers chiffres de la racine demandée. A cet effet nous dirons : le premier terme « xm »,ou la  mième  puissance des dizaines de la racine , est d’un ordre marqué par 10m ou par l’unité suivie de « m » zéros et ne peut se trouver que dans la partie gauche du nombre N,qui est au-delà du  mième rang   à compléter des unités simples ; nous serons donc conduits à séparer,sur la droite du nombre donné N,une première tranche de « m » chiffres.

 

Après cela, si la partie du nombre N restante à gauche est encore supérieure à 10 m,ce sera une preuve que la racine cherchée contient des centaines, et alors il faudra admettre que dans le développement ci-dessus  « x » représente ces centaines ;mais, dans le cas , « xm » ,ou la mième puissance  des centaines,sera d’un ordre marqué par (100)m  ou bien par l’unité suivie de « 2m » zéros,et ne se trouvera que dans la partie du nombre N qui est au-delà du 2 mième rang à compter des unités simples ;il faudra donc séparer,sur la droite du nombre donné N,une seconde tranche de « m » chiffres.

 

Pour une raison analogue,on prouvera qu’il faut diviser le nombre proposé en tranches de « m » chiffres,jusqu’à ce que la partie restante à gauche ,prise isolément,soit inférieure à 10m , cette première tranche à gauche pouvant d’ailleurs ne renfermer qu’un seul chiffre.

 

 

Après cela,on forme la table des mième puissances des nombres 1 ;2 ;3 ;….9 ; et l’on voit les deux puissances entre lesquelles tombe la première tranche à gauche du nombre N ; la plus petite des deux fera connaître le premier chiffre « x » de la racine demandée. Alors on retranchera « xm » de cette première tranche du nombre N,et le reste R ,réuni aux tranches suivantes,contiendra toutes les autres parties du développement, ou bien « maxm-1 » + etc. ,dans lequel « a » représente ce qui manque à la racine, après le premier chiffre connu « x ».

 

Mais dans la première partie  « maxm-1 » de ce reste, le produit « mxm-1 »par les plus hautes unités de « a » est d’un ordre de grandeur qui n’est inférieur à « xm »que d’un seul rang ;ainsi, ce produit se trouvera dans le nombre qu’on obtient en écrivant à la suite du reste R le premier chiffre de la seconde tranche. Si donc on divise ce dernier nombre par « mxm-1 »,c'est-à-dire par « m » fois la (m-1)ième puissance du chiffre « x » de la racine,on aura au quotient le second chiffre de cette racine.

 

Quand ce second chiffre sera connu,on fera la (m)ième puissance du nombre formé par les deux chiffres de la racine ;on la retranchera des deux premières tranches à gauche de N,ce qui donnera un second reste R’ ;  à côté de ce reste  R’ , on écrira le premier chiffre de la tranche suivante , et , en divisant le nombre obtenu par « m » fois la  (m-1)ième  puissance du nombre formé par les deux premiers chiffres de la racine,on obtiendra le troisième chiffre de cette racine,et ainsi de suite.

 

Au reste,pour éclaircir cette théorie,il faut l’appliquer à un cas particulier, et à cet effet, il faudrait résoudre les exercices suivants.

 

1°) Former la 9ème puissance de 2 x² - 3a

2°)Quel serait le 37ème terme dans la formule du binôme (x+a)?

3°)  A quel rang serait situé,dans le développement du binôme  

 4°) Faire la 6ème puissance de 5 a3 b + 3 a²

 

5°) A l’aide du binôme de newton,calculer la somme,des combinaisons que l’on peut fromer avec les 25 lettres de l’alphabet,en les prenant successivement 1 à 1 ; 2 à 2 ; 3 à 3 ;…..2( à 25.

 

 

Extraire des racines :

 

Extraire la racine cubique  de  282 429 536 481  et déduire du binôme la théorie complète de cette opération .

Extraire la racine 7ème   de 174 964 690 45900 000

Trouver la racine 5ème de 436 à moins d’un millième.

 

Les solutions raisonnées sont dans les cours pré requis..

 

 

 

 

 


 

TRAVAUX AUTO – FORMATIFS

 

 

 

CONTROLE:

 

Enoncé le binôme de Newton.

 

EVALUATION:

 

Refaire les calculs du cours..

/span>