Pré requis:

Projection orthogonale et symétrie
Projections
BIPOINT

ENVIRONNEMENT du dossier:

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Tableau

 

DOSSIER  PROJECTION  orthogonale dans un plan

TEST

COURS

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

 

Voir définition du mot « direction et sens ».

Mots utilisés dans l’objectif : le vecteur

Préambule :

   La projection  d ’ un point ; d’un segment (un ensemble de points alignés) implique que l’on doit connaître (ou se fixer) :

 

n      une direction  (c’est une droite )

n     la position du point dans un plan ( en l’occurrence la feuille) et

n      la droite support qui recevra le « projeté du point » .

 
                                                                             d        

Rappel :  Projection d’un point   sur une droite:

Le point  A’ est le projeté du point  A par rapport a la droite  d ;  (le segment de droite AA’ est parallèle à la droite  d), sur la droite orientée  « axe » .    La droite  d  indique la ligne direction de la projeté

                                                                                                                        A

                                                                                                                       

                                                                                                        A’

 

 

 

COURS  :

I )  PROJECTION ORTHOGONALE d’un point :

 

On fait la « projection orthogonale »d’un point « M » lorsque  la direction (delta) et la droite sur laquelle on trace « la projetée du point « M’ » » sont perpendiculaires

 

 

 

 

 

 

 

 

(utile pour : symétrie orthogonale)

 

 

II ) Projection  orthogonale d’un segment   (appelé aussi repère cartésien ) ,cas courant le repère  est dit  «  cartésien    ortho - normé »

Les segments de droites  AyBy   et  BxAx  sont  appelés les projetés  du segment   AB  .    La norme permet de graduer les axes.   Si la norme * sur x et y  est égale « mesure » le repère est dit « normé »   *Voir [O,I]  et  [ O, J ]

                                          y

 

                                       Ay                                                       A

 

 

 

 

                                         By                          B            

 

 

 

 

 

Bx                                Ax        x

 

 

 

Voir : Composantes d’un vecteur  et calcul de la NORME D’UN VECTEUR

 

 

III )  Projection orthogonale d’une figure géométrique (ou surface) sur  deux droites:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VOIR  pour en savoir plus : GEOMETRIE  DANS L’ESPACE

Voir projection d’un point  ,d’un segment ,d’une surface , d’un volume dans un repère en trois dimensions  (dit dans l’espace )

 

Exemple : pour montrer  que le triangle est rectangle :

 

            Le repère doit être  orthogonale :c’est le cas  parce que le repère est orthonormé.

 

        Dans le cas suivant :

                         :le segment  AB est parallèle à l’axe « y » (les extrémités ont la même abscisse )

                        :le segment  AC est parallèle à l’axe « x » (les extrémités ont la même ordonnée )

 

                           les deux segments sont donc perpendiculaires

         Il reste à montrer par le calcul que BC est l’hypoténuse du triangle rectangle  en calculant la somme des carrés des cotés (représentés par les projetées BD et DC)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nous avons besoin des projections de BC sur l’axe « y » et sur l’axe « x »

La projection de BC sur l’axe « y » est le segment DC ;

 la projection de BC sur l’axe « x » est le segment BD

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EVALUATION :

 

 

A  )  Montrer par un dessin  ,la projection orthogonale d’un point .

 

 

D1

D

delta

M

I )  Soit le schéma  suivant ,tracez le projeté du point M par rapport à   « delta » sur la droite  D et la droite D1.
 

 

 

 

B

II ) Soit un repère  orthonormé ( à compléter):  tracer les projections du segment   AB ; donner les coordonnées des deux points,

 

échelle1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cet exercice sera repris  avec Obj : « Pythagore » ,