Pré requis

L’homothétie

Boule verte

ENVIRONNEMENT du dossier

INDEX « warmaths »

Objectif précédent :

)Le vecteur

2°) Calcul de la mesure algébrique d’un bipoint

 

Objectif suivant 

1°) les vecteurs colinéaires

2°) le produit scalaire de deux vecteurs.

Info générales :

Liste des cours sur le « repérage »

Liste des cours sur les vecteurs.

DOSSIER les vecteurs  : Multiplication d’un vecteur par un nombre réel.

On dit aussi :

Multiplication d’un vecteur par un scalaire.

 

1°)    DEFINITION .

 

 

2°)    Propriétés

 

 

 

 

 

TEST

           Boule verte

COURS

                Boule verte

Devoir  Contrôle Boule verte

Devoir évaluation Boule verte

INTERdisciplinarité                 Boule verte

 

Corrigé Contrôle  Boule verte

Corrigé évaluation  Boule verte

 

 

 

 

 


COURS

 

Rappel : on désigne sous le nom de « scalaire » un facteur algébrique.

 

 

1°)    DEFINITION .

 

 

Multiplier un vecteur  par  un scalaire « k » c’est construire un autre vecteur    Dont le support est parallèle à celui de , ou confondu avec celui de  , dont le sens est celui de  si « k » est positif, contraire  à celui de  si « k » est négatif, et dont la norme «  » est telle que    CD =  .

Et   La longueur  CD =   AB    ou  

 

On écrit aussi : = k .

 

Exemple :

 

Le vecteur   vaut les 5/3  du vecteur    soit      

170

 

On écrit aussi : = k .

 

 

 

 

Et cette relation indique à la fois :

·       Que les supports de    et   sont parallèles.

·       Que :   CD =   AB 

·       Que le signe de « k » précise le sens relatif de   et 

En particulier , une relation du type : = k .  ; implique que les trois points sont alignés

 

 

 

 

En résumé :

   Soient un vecteur     et un nombre  réel « k »  , il existe alors un vecteur  défini par = k

 

Remarques particulières :

 

 

 

1 .      = 

0.    =  

k .  =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Activités :

 

 

 

 

 

 


Tracer le bipoint (A,B)  représentant de   ; le bipoint  ( B,C) ) représentant de    puis le bipoint (C,D) représentant de     . On constate que le bipoint ( A,D) représentant de :

    +   +   que l ’ on peut noter     = 3  

 

Que peut - on dire des supports  de   et   ?...................................................

 

Que peut - on dire des supports  de   et   ?...................................................

 

 

Le produit d’un vecteur   par un réel  « k » est le vecteur    de même support que   et tel que  =  k    .   ( attention au cas ou « k »0)

 

Le produit du vecteur nul     par un nombre réel « k » est le vecteur nul   .

 

Remarques :

 

si « k » = 0    alors  =    puisque  0 =    

si « k »   0       et    ont le même sens  , si « k » 0  ils sont de sens contraires.

 

 

 

 

 

2°) Propriétés :

 

 

 

                                       Pour tous vecteurs    et   et pour tous réels k et k’ 

·       k.    + k’.  =  ( k + k’ ) .

·       k .   +  k .   = k . (  +   )

·       k . ( k’ .  )  = ( k . k’)

 

 

 

Applications numériques : 

 

Utilisation de la formule k.    + k’.  =  ( k + k’ ) .

 

1°)   Résoudre dans l’ensemble des vecteurs l’équation :

 -  5  =  2 - 3

on répond :  - 2  = 5  - 3

-  =  2 ;          =  - 2

 

)Trouver le réel « a » tel que ¹

           a2   - 2 a  + =

 

On répond : (a2  - 2 a  + 1)  =

Comme  ¹   alors   a2  - 2 a  + 1 = 0

 

Puisque a2  - 2 a  + 1  = ( a – 1 )2   =  0 ;    a = 1

 

 

 

 

 

 

La suite va aider à  préparer le cours sur  l’addition géométrique de vecteurs : ( voir la somme des forces en statique graphique)

 

 

Etant donné deux vecteurs   et   dont les supports sont parallèles ou confondus ( condition sine qua non) ,on définit leur rapport comme étant le nombre algébrique « k » par lequel il faut multiplier   pour retrouver  .

On peut écrire :  le rapport du vecteur CD sur le vecteur AB est égal à « k ».

Soit : 

Et cela signifie  que : = k . qui est une autre forme d’écriture.

 

 

 

Toute la question est l’obtention de la valeur absolue de « k »  (noté : ).

Elle est très simple lorsqu’il existe une fraction de l’unité de longueur choisie qui est contenue  un nombre entier de fois dans la longueur « AB » et un nombre entier de fois dans la longueur « CD ».

Ce n’est pas le cas le plus habituel et nous admettons que par encadrements successifs, nous arrivons à une valeur « k » satisfaisante.

 

 

 

En particulier, si sur l’axe orienté qui porte le vecteur  on a marqué le vecteur unitaire , qui a pour longueur « un » et qui est dirigé dans le sens positif de l’axe , le rapport entre le vecteur  et le vecteur  est précisément ce que l’on appelle « la mesure algébrique du vecteur « AB » et que l’on note   en prenant bien garde de ne pas surligner « AB » :

 

ou       

 

 

 

Rappelons également la distributivité de la multiplication d’un vecteur par un scalaire : 

 = 

 

 

 

Et par ailleurs , en sens inverse                         = 

 

 

Ces quelques rappels sont indispensables pour illustrer de plusieurs exemples le cours sur « l’addition géométrique et somme géométrique de plusieurs vecteurs»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

 

CONTROLE

 

1°)   Compléter la définition suivante :

                     Soient un vecteur     et un nombre  réel « k »  , il existe alors un vecteur  défini par = k

 

2°) Compléter les égalités suivantes :

 

      Pour tous vecteurs    et   et pour tous réels k et k’ 

k.    + k’.  =  ( k + k’ ) .

k .   +  k .   = k . (  +   )

k . ( k’ .  )  = ( k . k’)

 

 

 

EVALUATION

 

Tracer sur le tableau ci - dessous  les vecteurs suivants :

 


1 = AB   = 3   

 


2 = AC  = 21 

 

 


3   = AC’   = 6   

 


4   =     AD  = 1  

 


5   =     MN   =  2    + 3   

 

6    =    MN’  = 5  

 7 =  OK  = 2 (  +   )

 

8 =  OL   =  2 + 2

 

 

 

Comparer :

 

a )  1    et 3 :               1   -           d ‘où   2 ( 3  )  =   ( ...  x   ....) 

 

b ) 4    et    : :          4    -      d ‘ où   1  =...............

 

c) 5    et 6 :                         5   -     d ‘où  2    + 3    =  (......+......) 

 

d) 8    et 7                     8   -  7           d ‘où  2 + 2  = .......(  + )

 

 

Quels que soient   les nombres réels   et   et les vecteurs  et  du plan « P » :

( )  =  ( )      ;  1   =  

 

( + )  =     +        ;   (  + )   =      +   

 

 

TABLEAU :

 

 

           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CALCUL :

Multiplier un vecteur par un nombre « k » c’est multiplier chaque coordonnée de ce vecteur  par le nombre « k » .

 (x , y)     ;     k.  : ( k x ,k y)

Application numérique :  (3 , -2 )     ;4  : ( 12 , - 8 )

 

 

Conseil : voir « les vecteurs colinéaires »