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Pré requis : pour calculer la dérivée il est conseillé de revoir , maitriser les leçons ci-dessous.

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LECON 1: Dérivées 1 

LA NOTION DE « DERIVEE »

Chapitres :

1°) La limite 

2°) Notion de dérivée 

3°) Définition de la « dérivée »

4°) Notation 

INFO COURS :

1°) La limite :

Lecture: La règle de trois  :limites de son domaine .

Essai pour étendre ces limites :

Des limites : A propos des dérivées nous rencontrerons une notion importante : celle de « limite » qu’il nous faut définir .

Considérons un segment de droite AB représentant l’unité :

Soit M₁ le milieu de AB , AM₁ représentant le milieu ,soit M₂ le milieu de M₁B , M₁ M₂ représente le quart ( ) , soit M₃ le milieu de M₂ B , M₂ M₃ représente le etc ; ….Soit M₄ le milieu de …..

Il est évident que les points « M » successifs se rapprocheront constamment du point « B » mais ne l’atteindront jamais puisque chaque point « M » est le milieu d’un segment de droite ayant justement « B » comme extrémité.

Il en résulte que la somme :

S = ++ + +++ ……

Se rapproche constamment de l’unité lorsque le nombres de ses termes augmente indéfiniment , elle peut n’en différer que d’une quantité aussi petite que l’on voudra mais elle ne sera jamais rigoureusement égale à l’unité .

On dit que « S » a pour limite 1 ou tend vers 1 lorsque le nombre de ses termes augmente indéfiniment .

Dans certains calculs on a à considérer plusieurs quantités u , v , w qui tendent respectivement vers des limites u₁ , v₁ , w₁ .

Nous admettrons , sans le démontrer , que la somme u + v + w a pour limite u₁ + v₁ + w₁ , que le rapport a pour limite , que le produit u . v . w a pour limite u₁ . v₁ . w₁

2°) Notion de dérivée :

Considérons la fonction y = x² ( 1)

Si la variable « x » s’accroît d’une quantité très petite appelée (delta de « x » ) et noté : D x la variable devient x + D x .

La fonction « y » s’accroît d’une quantité correspondante D y et devient y + D y

Proposons nous de calculer D y en fonction de D x puis le rapport

Appliquons la formule (1) . Cette formule nous indique que la valeur de la fonction se calcule , en élevant au carré la valeur correspondante de la variable soit :

y + D y = ( x + D x) ²

y + D y = x² + 2 x .D x + D x ² (développement : SOS )

supprimons y = x² dans les deux membres

D y = 2 x .D x + D x ²

le rapport s’obtient en divisant les deux membres par D x :

soit = 2 x + D x

On appelle dérivée de la fonction y = x² , par rapport à « x » , la valeur limite du rapport lorsque D x tend vers zéro. Il apparaît immédiatement que si D x s’évanouit tend vers  ;

« 2x » est la dérivée de « y » = x² par rapport à « x »

3°) Définition de la « dérivée » :

La dérivée d’une fonction est la limite, vers laquelle tend le rapport de l’accroissement de la fonction à l accroissement correspondant de la variable, lorsque celui-ci « s’évanouit »

Remarque : pour bien comprendre la nature de la dérivée il importe de remarquer que Δ x et Δy s’annulant simultanément si Δ x = 0 et Δy = 0 et le quotient prend la forme indéterminée qui ne signifie absolument rien. Lorsque, dans l’exemple précédent, nous posons cette dérivée égale à « 2x ». Nous disons :

Si D x tend vers zéro ; = 2 x+D x tend vers « 2x », donc si D x = 0 ; = 2 x ; puisque [ = 2 x+ 0]

Nous faisons ce que l’on appelle une « extrapolation par continuité» ; c’est à dire que nous admettons comme rigoureusement vrai pour Δ x = 0 , ce qui est de plus en plus approché lorsque Δ x tend vers zéro. Ce raisonnement n’est évidemment possible que si le rapport ne change pas brusquement de valeur au dernier moment, c’est à dire à la condition qu’il y ait continuité.

4°) Notation :

Si la fonction d’une variable s’exprime par = sa dérivée se représente par ou ).

Dans certains cas , la valeur limite du rapport , lorsque Δ x « s’évanouit » , se symbolise par la notation dite « notation différentielle ».

Au début et pour l’instant, un élève devra considérer l’expression comme une simple notation

et ne pas y voir un quotient.

Cependant, dans les applications pratiques, elle pourra être considérée comme un quotient et voici comment.

La dérivée étant la limite du rapport , lorsque Δ x et Δ y s’évanouissent simultanément ; lorsque Δ x et Δ y sont « très petits » le quotient est une valeur approchée de la dérivée « y’ » ;

Suite :

· Dérivée 2 déjà écrit

· Dérivée 3 caractéristiques et analyse de cas

· Dérivée 3 bis la règle de trois , limite de son domaine , essais pour étendre ses limites , intérêts que représente l’étude de la dérivée

· Dérivée 4 la règle de trois , limite de son domaine , essais pour étendre ses limites , intérêts que représente l’étude de la dérivée, La série de Taylor

· Dérivée 6 ( à faire doc. Bac prof.)