Pré requis:

Calcul algébrique de degré 1 , avec des nombres entiers	cliquer ici
Calcul algébrique de degré 2, avec des nombres décimaux positifs	cliquer ici
les 4 opérations avec les décimaux relatifs ;résumé cours :	cliquer ici

DOSSIER: Calcul algébrique « basiques » sur comment :

Résoudre avec des nombres Décimaux relatifs (dit : nombres algébriques)

Environnement du dossier:

Index

Dossier : CN 60

On donne une équation est donnée :

On demande de résoudre l’équation du type : a * x = b

L’astérisque est un signe opératoire qui peut être celui de : ( la multiplication , addition , soustraction , division…)

où a et b sont des nombres décimaux relatifs et l' étoile peut représenter l’un des 4 signes des opérations de base ( addition ;soustraction ; multiplication; division )

Approches théoriques:

1° ) "a" et "b" sont des nombres décimaux relatifs

2° ) L ' équation est toujours de la forme "x"=…..

Les modèles en Calcul Numérique : (en calcul numérique on pose x =…. ) Présentation de l’égalité :Par « habitude » ; on met à gauche du signe égal les nombres séparés par un signe opératoire , de l’autre côté du signe égal il y a le « x » ; qui sera le résultat du calcul
Modèle type n°1	Modèle type n°2	Modèle type n°3	Modèle type n°4	Modèle type n°5
a + b = x	a b = x	a -b = x	= x	= x

Modèles des équations du premier degré types à résoudre en « algèbre  » "a" et "b" sont des nombres décimaux relatifs, et la lettre « x » est un nombre à découvrir … On pose  :« x » est une lettre qui correspondra à une valeur numérique , il faut transformer l’égalité pour que celle-ci soit une équation a forme "x"=….. ; pour transformer cette égalité il faut respecter les règles de calcul vues en « calcul numérique » ; « appelées : théorèmes» Pour trouver la valeur de "x"
a + x = b	a x =b	a -x = b	=b	= b

Aucun calcul n’est possible ; ce que l’on peut chercher c’est trouver un nombre remplaçant « x » et vérifiant que l’égalité est une égalité « vraie » ; on cherche à résoudre un problème :

Exemples :

1°) Quelle est la valeur que l’on pourrait donner à « x » pour que «3 + x = 5 »  ?

Réponse : il n’y a pas d’autres solutions que de connaître la table des additions :

On sait que 3 + 2 = 5 ; donc 5-3 = 2 ; ainsi pour que 3 + x donne = 5 , la valeur de « x » sera égale à 2 .

2°) Quelle est la valeur que l’on pourrait donner à « x » pour que «8 - x = 5 »  ?

Réponse : il n’y a pas d’autres solutions que de connaître la table des soustractions :

On sait que 8 – 3 = 5 ; donc 5 + 3 = 8 ; ainsi pour que 8 - x donne = 5 , la valeur de « x » sera égale à 3 .

3°)Quelle est la valeur que l’on pourrait donner à « x » pour que «3 fois x = 15 »  ?

Réponse : il n’y a pas d’autres solutions que de connaître la table des divisions :

On sait que 3 fois 5 = 15 ; donc 5-3 = 2 ; ainsi pour que 3 + x donne = 5 , la valeur de « x » sera égale à 2 .

4°)Quelle est la valeur que l’on pourrait donner à « x » pour que «3 + x = 5 »  ?

Réponse : il n’y a pas d’autres solutions que de connaître la table des additions :

On sait que 3 + 2 = 5 ; donc 5-3 = 2 ; ainsi pour que 3 + x donne = 5 , la valeur de « x » sera égale à 2 .

« Résoudre » : résoudre c'est rechercher la valeur numérique d ' une lettre (dite inconnue : x ) tel que cette valeur vérifie l' égalité "vraie".

Dans D +ou -

4 cas pour l ' addition	Solution :
(+7)+(+ 4) = x	X = (+11)
(+7)+(- 4) = x	X = (+3)
(-7)+(- 4) = x	X = (-11)
(-7)+(+ 4) = x	X=(-3)

4 cas pour la multiplication
(+7)(+4) = x	X=(+28)
(+7)(-4) = x	X=(-28)
(-7)(-4) = x	X = (+28)
(-7)(+4) = x	X=(-28)

4 cas pour la soustraction	transformation
(+7)-(+ 4) = x	(+7)+ (- 4) = x	X =(+3)
(+7)-(- 4) = x	(+7)+(+ 4) = x	X =(+11)
(-7)-(- 4) = x	(-7)+(+ 4) = x	X = (-3)
(-7)-(+ 4) = x	(-7)+(- 4) = x	X = (-11)

4 cas pour la division
= x;	X= (+1,75)
= x	X= (-1,75)
= x	X= (+1,75)
= x	X= (-1,75)

idem	« x » = n’a pas d’existence décimale. ( la division ne tombe pas juste ;si l’on veut un nombre décimal il faudra donner une valeur arrondie ) ; on se contente de donner le signe du résultat.
= x;		+
= x		-
= x		+
= x		-

APPROCHE ALGEBRIQUE :

L ' équation doit toujours se ramener sous la forme "x"=…..

Comment doit s 'effectuer cette recherche ? :

I ) Première méthode De façon déductive:

On affecte une valeur numérique à "x" ; on effectue le calcul ;on vérifie si l ' égalité est "vraie"

.

II ) Deuxième méthode en appliquant les théorèmes sur les égalités (niveau ++ )

procédure:

transformer les deux membres en somme algébrique . SOS cours

Isoler le terme en "x" ; pour cela appliquer l ' un des 4 théorèmes

exemple

4 + x = 7

Première méthode: on attribue à "x" une valeur au hasard .	Deuxième méthode: on applique les théorèmes des égalités:
1 essai : On donne à x la valeur "2" (c'est un exemple)	Cette méthode exige une grande quantité de connaissances qui ne seront acquises qu ' a la fin du calcul numérique.
On remplace dans l 'égalité "x" par la valeur choisie 4 +2 ,et l ' on calcule = 6
On compare les deux membres Le premier membre vaut "6" , le deuxième membre vaut "7" .
Première conclusion : les deux membres ne sont pas égaux ; alors on dit que "2" n 'est pas solution de l ' équation.
Il faut attribuer à "x" une autre valeur ; essayer de nouveau ; vérifier est conclure
La solution est 3;

Dans D +ou -

4 cas pour l ' addition
1.	(+7)+(+ 4) = x
2.	(+7)+(- 4) = x
3.	(-7)+(- 4) = x
4.	(-7)+(+ 4) = x

4 cas pour la multiplication
5.	(+7)(+4) = x
6.	(+7)(-4) = x
7.	(-7)(-4) = x
8.	(-7)(+4) = x

4 cas pour la soustraction
1.	(+7)-(+ 4) = x
2.	(+7)-(- 4) = x
3.	(-7)-(- 4) = x
4.	(-7)-(+ 4) = x

4 cas pour la division
5.	= x;
6.	= x
7.	= x
8.	= x

idem
9.	= x;
10.	= x
11.	= x
12.	= x

Modèles calculs algébriques	"		Pour trouver la valeur de "x"
(+7)+ (+ 4) = x (+7)+ (- 4) = x (-7) + (- 4) = x (-7) + (+ 4) = x	(+7)(+4) = x (+7)(-4) = x -7)(-4) = x (-7)(+4) = x	7 -x = 3	= x; = x = x = x	= x; = x = x = x

L ' équation doit toujours se ramener sous la forme "x"=…..

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTROLE

1°) Que signifie "résoudre" ,

2°) Donner deux méthodes permettant de trouver la valeur numérique qui vérifie l 'égalité "vraie".

EVALUATION :