Pythagore Niveau V

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TRAVAUX INTERDISCIPLINARITES : PYTHAGORE.

i Pour démontrer le théorème de Pythagore , Euclide démontre que :

Si l’aire du carré ayant comme côté l ’ hypoténuse BC est égale à la somme de l’aire du carré de côté AB et l’aire du carré de côté AC : on aura démontré que BC² = AB² + AC²

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APPLICATIONS DU THEOREME DE PYTHAGORE ET DE SA RECIPROQUE

a ) La corde à 12 nœuds ; dans le bâtiment :

Pour tracer des angles droits , les Egyptiens se servaient d’une corde fermée à 12 nœuds , régulièrement espacés ; ou d’un segment de corde à treize nœuds (régulièrement espacés) dont un nœud à chaque extrémité .

Ils la tendaient entre trois pieux de la façon , un en « T » ; un en « S » un en « U ».

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b ) diagonales d’un quadrilatère et hauteur d’un triangle .

Diagonale d’un rectangle	Info plus +++
AC² = AB² + BC². Comme : DB² = DA² + AB² Si « d » = AC ; a = AB ; b = CB Alors d ² = a² + b² Donc
« diagonale du carré = a »	Info plus +++
AC² = DB² = d ² Si AB = BC=CD=DA = « a » Alors d ² = a² + a² Soit d² = 2 a² Alors Donc

Hauteur du triangle équilatéral = a	Info plus +++
a² = ( )² + h ² a² - ( )² = h ² a² - = h ² h ² = - h ² = ; donc h =
Voir dans l’espace : on demande de calculer la diagonale d’un cube , ou d’un parallélépipède rectangle .
		Exemples de demande : -Calculer HC - Calculer FH - Calculer DF

Triangle rectangle inscrit dans un demi - cercle .

:Cd :Info plus +++

Rappel : le centre du cercle circonscrit dans un triangle est se trouve au point d ’intersection des médiatrices des côtés du triangle .( figure 2)

Observez dans la figure ci - dessous : en traçant la diagonale AC du rectangle ABCD , je divise le rectangle en deux triangle rectangle .Si je trace la seconde diagonale DB , j’obtiens un point O situé à égal distance des points , A ; B ; C ; D , je peux tracer un cercle passant par ces 4 points .(figure 1 )

Figure 1

figure 2

l Soit "A" un point quelconque du demi - cercle de diamètre [ B C] .

Si un triangle ABC est inscrit dans un demi - cercle de diamètre [ B C] alors ce triangle est rectangle .

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Activité :

Dessiner un demi - cercle de diamètre BC = 8 cm . Construire un triangle rectangle en A dont le côté de l'angle droit mesure 3 cm .

Solution :

Pour que le triangle soit rectangle il suffit que le point A appartiennent au cercle .L'hypoténuse est le segment [ BC ] .

On retiendra :

Pour identifier un triangle rectangle , on peut :

- vérifier que ses dimensions satisfont la réciproque de la propriété de Pythagore ;

- vérifier qu'il est inscrit dans un demi - cercle dont le diamètre est l'hypoténuse du triangle .

vérifier qu'un de ses angles est droit à l'aide d'une équerre ou un rapporteur.


Autres séries d'exercices

3°)

Calculer la longueur « x »

S41

4°)

Calculer la longueur « x »

S42

5°)

Calculer la diagonale d’un cube de 1 m d’ arête .

6°)

Calculer la diagonale d’un parallélépipède rectangle ayant pour dimensions 7 ; 8 et 10 cm .

7°)

Calculer la diagonale d’un carré de 2,5 dm de côté

8°)

Calculer la longueur de AB

S34

9°)

Calculer la longueur de la tangente AT (côtes en mm )

S35

INTERDISCIPLINARITE :

Dans le bâtiment : pour effectuer un pavage dans une pièce .

Ce procédé permettant de tracer une droite perpendiculaire par exemple pour le pavage d’une pièce.

( les murs n’étant pas eux mêmes perpendiculaires )

On mesure AB = 6O cm sur la règle 1 , qui sert de base , puis on mesure AC = 80 cm sur la règle 2 , et on déplace la règle 2 de façon que BC mesure 1m.

Les deux bords AB et AC forment un angle droit.

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