Pré requis:

La table de multiplication.

 

Préparer la division  ( calcul mental)

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index warmaths 

AVANT :

1°)Préparer la division  ( calcul mental)

2°) Préparons la division série 2

COURS

APRES 
1°) La division euclidienne

2°) la division décimale ( tests)

 

 

Complément d’Info :

 

TITRE : LA   DIVISION.

Partie  I  :

1°) Dividende entier , diviseur à 1 chiffre .

2°) Dividende décimal ; zéro au décimal

3°)Le Diviseur est terminé par des zéros

4°) Diviseur à plusieurs chiffres 

5°) Division :  reste ; preuve

6°) zéros au quotient 

7°) Essais  et retenue  pratique

 

Partie II

8°)dividende  et diviseur entier :quotient exact

9°)dividende  et diviseur entier :quotient approché

10 ° ) Quotient inférieur à 1 

11°)  Dividende décimal ; diviseur entier suivi de zéro

12°)  évaluation du reste.

13°)  Diviseur décimal  ( intéressant pour traiter la division décimale)

14°) Diviseur décimal inférieur à 1

15°)Cas particuliers Evaluation .

Travaux ; devoirs

 

Corrigé

TESTS

A visiter

 

 

Tests :  ici

 

 

TEST

Contrôle

évaluation

 Avec renvoi à une fiche cours spécifique.

Contrôle

évaluation

 

Interdisciplinarités :  

Info @ 1   DIVERS   ; info @ 2  autres avec des entiers naturels1 ; info @ 3   autres avec des nombres décimaux 2

 

 

COURS

 

Partie  I  :

 

1°) Dividende entier , diviseur à 1 chiffre .

  Observations : si on distribue 56 kg d’avoine également entre  8 chevaux , quelle ration chaque chevaux reçoit-il ?   c’est   56 : 8 = 7 kg

 

Si on dispose de 56 kg d’avoine pour distribuer des rations de 7 kg , combien de chevaux peut-on servir ?    c’est  56 : 7 = 8 chevaux

 

Si les rations sont prélevée sur un sac de 60 kg , on peut servir :

 

60 : 7  =  8 chevaux   , et il reste 4 kg d’avoine dans le sac .

56

8

  0

7

 

 

56

7

  0

8

 

 

60

7

  4

8

 

 
 

 

 

 

 

 


Les deux premières opérations ne donnent pas de reste :

On dit que le quotient est « exacte »

La 3ème  donne un reste « 4 » : le quotient est un quotient approché .

 

Retenez  bien : le reste doit  toujours être  plus petit  que le diviseur .

 

Pratique : pour un grand dividende , on fait des divisions successives en commençant   par la gauche , et en abaissant 1 chiffre à droite de chaque reste  , jusqu’à épuisement des chiffres du dividende .

 

Dans « 8 » il y a 1 fois 6 ;6 ôté de 8 reste 2 , j’abaisse le 5 .

Dans 25 il y a 4 fois 6 soit 24 , 2’ ôté de 25 reste 1 ,  j’abaisse le 7 .

Dans 17 il y a 2 fois 6 soit 12 , 1é ôté de 17 reste 5 .

Donc 857 : 6 = 142  , il reste 5

Dans 3 il y a 0 fois 5 , on prend  alors 6.

Dans 36 il y a 7 fois 5 soit 35 , ôté de 36 il reste 1, j’abaisse le 7.

Dans 17 il y a  3 fois 5  soit 15 ôté de 17 il reste 2 , j’abaisse 3 ;

Dans 23 il y a 4 fois 5 soit 20 , ôté de 23 il reste 3.

 

ATTENTION ! quand le dividende est terminer par un ou des zéros.

 

Quand le dividende est terminer par un ou des zéros que l’on utilise pas , il ne faut pas oublier de les inscrire à droite du quotient.

 

2° Dividende décimal ; zéro au décimal

 

Situation 1:

On a payé 25 € pour 5 kg de chocolat ; quel est le prix du kg de chocolat .

 

On effectue :  25,75 : 5 = 5,15 €

Situation  2 :

Pour faire une étagère , on coupe en 6 morceaux égaux une planche de 3,90 m ; Quelle est la longueur d’un morceau ?

On effectue : 3,90 : 6 = 0,65 m

Ou  390 cm : 6 = 65 cm

Remarque : si la partie entière du dividende est inférieur au diviseur , on remplace la partie entière du quotient par 0.

 

Règle : On fait la division comme à l’ordinaire , mais on place une virgule au quotient  dès qu ‘ on abaisse  le premier chiffre décimal du dividende.

(*le premier chiffre décimal est le premier chiffre après la virgule)

 

Si la partie entière du dividende est inférieure au diviseur , on remplace la partie entière du quotient par un zéro .

 

3°)Le Diviseur est terminé par des zéros

Situations :

 

674 000m : 4 000, c’est comme  674 km : 4 ®  674 000 : 4 000

75 850 cm : 600 , c’est comme 758,5 m : 6 ®  758,50   :  600

54 986 litres : 700  , c’est comme  549,86 : 7  ®  549,86 : 700

 

Règle : Quand le diviseur est terminé par des zéros , on les supprime , à condition d’en supprimer autant au dividende , ou de séparer par une virgule autant de chiffres à droite  du dividende  qu’il y a  de zéros au diviseur.

 

4°) Diviseur à plusieurs chiffres .

Situation : Combien peut-on remplir de boîtes de 24 œufs , avec 398 œufs ?

Combien de fois  24 dans 398 ?

C’est 398 : 24.

Dans 39 dizaines il y a 1 fois 24 ;ôté de 39  il reste  15 diz. ;

En 158 unités , il y a 6 fois 24 soit 144, ôté de 158  il reste 14 ..

Pratique : Je dis : en 39  combien il y a de fois  24 , ou en 3  (centaines) combien de fois 2 (au diviseur)® 1 fois , 1 fois 24 = 24 , ôté de 39 ® 15. J’abaisse le 8 . En 158 combien de fois 24  , ou en 15 combien de fois 2  , 6 fois ( essai de 7® résultat inacceptable) 6 fois 24 = 144 , ôtés de 158 ® reste 14.

Résultat : on emplit 16 boîtes ; il reste  14 œufs non logés.

 

 

5°) Division :  reste ; preuve

Examinons la division  879 : 36

Dividende    ® 879

Diviseur       ® 36

Quotient        ® 24

Reste             r  ®  15

Dans 879 , il y a  24 fois  36 , et le reste 15  ( plus petit que le diviseur )

  879  =  36  24  + le reste 15

On peut faire la preuve de la division en multipliant le diviseur par le quotient  et en ajoutant le reste au produit obtenu : on doit retrouver le dividende .

 

Exercices : Vérifier par la preuve que les divisions  suivantes sont exactes .

 

 

 

 

 

 

 

 

6°) zéros au quotient :

 

Si on ne peut pas diviser  après avoir abaissé un chiffre , on écrit 0 au quotient et on abaisse le chiffre suivant ; si c’est la dernière division partielle , il n’y a plus rien à abaisser : n’oublions pas  le 0 des unités du quotient .

 

32 diviser par 43 est la dernière division partielle :  il n’y a plus rien à abaisser  on écrit  0  comme unité des unités du quotient .

 

 

 

 

7°) Essais  et retenue  pratique

La division de 15 par 2 donne 7 , mais 29  7 = 203  ne peut être ôté de 156.

 Essayons 6 ;

29 6 = 174 ; qu’on ne peut ôté de 156 . 5 convient

car 29 5 = 145 , que l’on peut ôter de 156 …..

 

Quand le 2e chiffre du diviseur marque un nombre élevé , la retenue oblige à des essais :

1° examiner  ce 2e chiffre ; 2° gagner du temps en essayant mentalement le chiffre du quotient .

 

 

 

 

Partie II

8°)  dividende  et diviseur entier :quotient décimal  ou approché ;

Situation problème : On a fait  8 serviettes de bain dans  10 m de tissu éponge .

Quelle est la longueur d’une serviette ?   c’est  10 m : 8  = 1,25 m

Le quotient 1 n’est pas assez approché : on poursuit la division comme  s’il y avait une partie décimale au dividende , en abaissant des zéros .

(voir :dividende décimal N°2 )

 

9°) dividende  et diviseur entier :quotient approché ;

 

situation : si l’on avait voulu faire 6 serviettes dans la même bande de 10 m , quelle aurait été la longueur d’une serviette ?

 

L’opération n’a pas de fin : on l’arrête où l’on veut , selon la précision  que l’on veut obtenir . On dit qu’on calcul un « quotient approché » , à 1 dixième , 1 centième , 1 millième près …. Ici , où peut-on s’arrêter : au cm ? au mm ?

 

 

10 ° ) Quotient inférieur à 1 :

     On a fait 12 torchons avec 9 m de toile : quelle est la longueur du  torchon ?

C’est 9 m : 12  = 0,75 m

Quand le dividende est inférieur  au diviseur , le quotient est inférieur à 1 ;on remplace sa partie entière par un zéro.

 

Les essais successifs obligent parfois à écrire d’autres zéros avant le premier chiffre significatif

 

 

11°)  Dividende décimal ; diviseur entier suivi de zéro

Déjà abordé : diviseur terminé par des zéros

Examiner les divisions suivantes : On supprime  les zéros du diviseur , à condition de reculer la virgule  du dividende d’autant de rangs vers la gauche qu’on a supprimé de zéros au diviseur.

 

 

 

 

 

12°)  évaluation du reste.

Calcul à 1 unité près du quotient de 277,35  m par 23

Le reste apparent est 1

Le reste réel est 1,35 m 

Quand une division n’est pas « poussée » , le reste qu’elle peut comporter doit être complété en considérant le dividende réel.

Problème . Combien peut-on tirer de réglettes de 30 cm dans une baguette de bois de 5,6  m ? Y a t- il un reste inutilisé ? Quelle est sa mesure ?

 

5,6 m = 560 cm

 

On fait 18 réglettes , il reste 2 ;

 

dites  2 de quoi ?

 

 

13°)  Diviseur décimal 

 

situation 1 :

Combien fait-on de tablettes de 1,25 m dans une planche de 5 m ?

Je peux dire : combien de tablettes de 125 cm dans une planche de 500 cm

5 : 1,25

 

125 cm    4 = 500 cm

 

 

situation 2 :

Combien de tablettes  de 0 ,75  peut-on tirer d’une planche de 3,5 m ?

 

 

350 cm =  75 cm4 + 50 cm ( reste ) ; 3,5 m = 0,75m  4 + 0,75 m (reste)

 

Remarque : en multipliant le dividende  et le diviseur d’une division par un même nombre ( 10 ; 100 ;1000)  on ne change pas le quotient.

( voir : transformer une écriture fractionnaire en fraction)

 

Règle : Quand un diviseur est décimal , il faut le rendre entier en barrant la virgule , ce qui le rend 10 ; 100 ; 1 000; ….fois plus grand . On doit alors rendre le dividende  10 ; 100 ; 1000 ; fois plus grand , en écrivant des zéros à sa droite , s’il est entier , ou en déplaçant  sa virgule de 1 ; 2 ; 3 ; ….rangs vers la droite ( on y inscrit des zéros si c’est nécessaire)

 

 

14°) Diviseur décimal inférieur à 1

 

Combien emplit – on de bouteilles de 0,75  litres avec le vin d’un tonneau de 54 litres ?  54 : 0,75 = 72 bouteilles .

Remarque . quand le diviseur est inférieur à 1 , le quotient est supérieur au dividende .

En effet , le tonneau  contient 54 fois 1 litre  , il contient donc plus de 54 fois une quantité inférieure à un litre .

 

Remarque :

On peut détourner la difficulté : dans 1 litre il y a 100 centilitres ; dans 54 litres il y a 5400 cl ; dans une bouteille il y a 75 cl ( une bouteille contient 3/4 litre).

Aussi on peut remplacer  la division  54 : 0,75  par la division  5400 : 75 =

 

Le résultat recherché ( que l’on appelle   « quotient » ) reste le même : 72

 

On devra vérifier si le calcul est exact  en faisant la multiplication  75 par 72 , on doit obligatoirement trouver  « 5400 ».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CONTROLE:

 

-            1

 

 

 

EVALUATION:

 

Appliquons les règles de disposition étudiée :

Sans les compter , disposer les divisions ci –dessous comme si vous alliez les faire , en modifiant comme il faut les deux termes .

A) Diviseur  terminé par des zéros  ( SOS rappels1  et rappels 2 )

 

 

a

b

c

d

e

1

7800 : 350

5400 :3500

67800 :5400

78500 :480

37400 : 4300

2

7492 : 430

6785 :2500

475 :7200

3750 :5800

67900 :75000

3

578 : 23000

25 :7800

432 :85000

8 : 650

92 :33000

4

83,5 : 420

267,5 :500

483,5 :37000

74,25 :2400

5,95 : 800

 

B) Diviseur décimal . ( SOS rappels 1  et rappels 2 ) 

 

 

a

b

c

d

e

1

495 :7,5

83 :4,25

74 :1,432

239 :0,52

425 :0,075

2

53,8 : 2,5

7,459 :3,85

6,387 :0,25

0,485 : 2,65

0,98 :0,03

3

24,3 :5,75

86,2 :3,54

7,08 : 0,325

6,5 :  0,042

9,35 : 2,008

 

ATTENTION aux zéros inutiles, à supprimer d’abord :

 

C

 

 

 

 

 

 

475 : 3,50

7430 : 2,700

49,5 : 380

35,06 :0,950

2,48 :0,6340

 

Recopier les divisions suivantes , telles quelles , faîtes au crayon les modifications utiles ; puis effectuer le calcul en ligne sans poser l’opération.

D

 

 

 

 

 

 

738 : 60

123,2 : 0,8

1778 : 700

58,05 :0,9

0,75 : 0,06

 

 

 

APPLIQUONS dans les exercices suivants les règles étudiées en détail :

 

Effectuer , après avoir supprimé des zéros inutiles :

E

 

 

 

 

 

 

17,28 : 3,60

28,416 : 4,800

486 : 7,20

11,80 : 0,800

134,90 :4,750

 

Calculer le quotient exact ( ici , c’est un quotient entier)

F

a

b

c

 

1

17 776 : 47

162 :3,6

122640 : 560

 

2

544 : 8,50

136 620 : 92

200 600 : 2 950

 

Suite

 

a

b

c

 

1

 54 810 : 58

507 : 7,8

74 292 : 82

 

2

448 812 : 548

690 : 3,75

479 610 : 730

 

 

Calculer le quotient exact ( ici , c’est un quotient entier ou décimal )

G

a

b

c

 

1

4 576 : 47

26,1 : 5,80

450 : 72

 

2

281 ,52 : 36

475,3 : 98

2 205 : 840

 

 

Calculer le quotient entier ( précisez le reste )

H

a

b

c

 

1

9 845 : 47

452,8 : 8,6

352 000 : 720

 

2

61 748 : 294

971 700 : 3 800

684,85 : 5,2

 

 

Calculer le quotient approché :

 

K

 

a

b

1

à 0,1  près

65 420 : 480

3742,9 : 517

2

à 0,01  près

6 853 : 495

19,2 : 3,820

3

 à 0,001  près

1 867 , 8 : 590

18 : 0,687

 

 

 

 

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