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Exercices sur les nombres dérivés -Fonctions dérivées -Utilisation

Exercice n°1

On considère la fonction ¦ définie sur l'intervalle [ -5 ; 5 ] par ¦(x) = x²

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'unité graphique 1 cm.

1°) Donner l'expression ¦'(x) de la fonction dérivée ¦' de ¦. En déduire le nombre dérivé ¦'(2)

2°) Placer dans le repère indiqué le point A de C d'abscisse 2 . En utilisant le résultat précédent, construire la tangente à C en A.

3°) Tracer la courbe C

Exercice n°2

Dans chacune des figures suivantes, la courbe C est la courbe représentative d'une fonction ¦.

Sachant que les droites tracées sont les tangentes à C aux points A, B et C, déterminer par lecture graphique les nombres dérivés ¦'(-1) , ¦'(0), ¦'(2).

Exercice n°3

Pour chacune des fonctions suivantes, Calculer ¦'(x), étudier sur l'intervalle proposé le signe de ¦'(x) et dresser le tableau de variation de ¦.

¦ définie sur [ -5 ; 5 ] par : ¦(x) = 2x²-8x-5

¦ définie sur [-2 ; 2 ] par -x² + 3x + 5

¦ définie sur [ -1 ; 3 ] par : ¦ (x) = x³ + x + 1

Exercice n°4

Soit ¦ la fonction définie sur [0 ; 4 ] par ¦(x) = 2x²-10x+.3.

1°) Déterminer la fonction dérivée ¦'.

2°) Dresser le tableau de variation de ¦

3°) En déduire que ¦ admet un minimum obtenu pour une valeur de x que l'on précisera. Donner la valeur de ce minimum.

Exercice n°5

On considère la fonction ¦ définie sur l'ensemble des nombres réels par ¦(x) = (x+1)(2x-3)

1°) En développant le produit (x+1)(2x-3), donner une autre expression de ¦.

2°) Calculer ¦'(x)

Exercice n°6

La courbe C est une courbe représentative d'une fonction ¦ sur l'intervalle [ -2 ; 2,5 ]

1°) A partir d'observations graphiques :

a) Dresser le tableau de variation s de ¦

b) Donner les valeurs approchées des trois solutions de l'équation ¦(x) = 0.

2°) Sachant que pour tout x de [ -2 ; 2,5], ¦(x) = x³ - 3x -1, on se propose dans cette question de retrouver les variations de ¦ en utilisant la fonctions dérivée ¦' de ¦.

a) Calculer ¦'(x). vérifier que ¦'(x) = 3(x-1)(x+1)

b) Reproduire et compléter le tableau de signe suivant :

x	-2 -1 1 2,5
Signe de x-1	0
Signe de x+1	0
Signe de ¦'(x)	0 0

c) En déduire le tableau de variations de ¦

Exercice n°7

On décide d'étudier pour une période donnée le bénéfice d'un sous-rayon d'un magasin d'alimentation.

On désigne par b le bénéfice exprimé en € et par x le chiffre d'affaires hors taxes (H.T.) exprimé en €.

Partie A

On suppose que le bénéfice est donné par la relation:

b(x) = 0,35x-45

1°) Pour quel chiffre d'affaires hors taxes, à l'€ près, a-t-on un bénéfice nul ?

2°) Calculer le bénéfice maximal que l'on peut espérer sachant que le chiffre d'affaires ne peut excéder 300 €.

3°) Soit f la fonction définie sur l'intervalle [150; 30~ par:

f(x) = 0,35x-45

Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthogonal.

Échelles:axe des abscisses:1 cm pour 20 €; axe des ordonnées:1 cm pour 5 €.

4°) Déterminer graphiquement à partir de quel chiffre d'affaires on obtient un bénéfice supérieur ou égal à 20 €.

Partie B

On constate en fait que, pour la période donnée, l'expression du bénéfice est plus proche de la relation :

b(x) = -0,005x² +2,5x+c

1°) Calculer c pour que le bénéfice reste de 60 € pour un chiffre d'affaires de 300 €.

2°) Soit g la fonction définie sur l'intervalle [150; 300] par:

g(x) = -0,005x² +2,6x-270

On a ainsi : g(x) = b(x)

a) Reproduire et compléter le tableau suivant, puis construire la courbe représentative de la fonction g dans le repère utilisé pour la partie A.

x	150	180	210	240	260	280	300
g(x)	7,5	36		66	68		60

b) Donner l'expression de la fonction dérivée g' de la fonction g.

c) Résoudre l'équation g'(x) = O ; on note x₀ sa solution.

d) On admet que pour un chiffre d'affaires hors taxes égal à x₀ le bénéfice est maximal. Calculer le bénéfice maximal.

(D'après un sujet de Bac)