Obj : PROJECTE sur...

Voir définition du mot « direction et sens ».

Mots utilisés dans l’objectif : le vecteur

Préambule :

La projection d ’ un point ; d’un segment (un ensemble de points alignés) implique que l’on doit connaître (ou se fixer) :

n une direction (c’est une droite )

n la position du point dans un plan ( en l’occurrence la feuille) et

n la droite support qui recevra le « projeté du point » .

d

I) Projection d’un point sur une droite:

Le point A’ est le projeté du point A par rapport a la droite d ;

(le segment de droite AA’ est parallèle à la droite d), sur la droite orientée « axe » .

La droite d indique la ligne direction de la projeté

A

A’

Cas particulier : PROJECTION ORTHOGONALE d’un point :

On fait la « projection orthogonale »d’un point « M » lorsque la direction (delta) et la droite sur laquelle on trace « la projetée du point « M’ » » sont perpendiculaires

(utile pour :Obj : symétrie orthogonale)

II)Projection de deux points sur une droite:

A’ est le projeté du point A sur l’axe

B’ est le projeté du point B sur l’axe.

A’ et B’ sont les projetée par rapport à la droite de direction donnée d

A B

d

A’ B’

III) Projection d’un segment de droite: « x »

Avec A et B on construit le segment AB;

Le segment Ax Bx est le projeté du segment AB sur la droite « axe » ,par rapport à la droite d .

X_A est l’abcisse du point A;

X_B est l’abcisse du point B

B

A

d

A’ B’ x

IV ) Projection d’un segment sur une droite : « y »

y

Avec A et B on construit le segment AB .

By est le projeté de B sur l’axe « y ».

Ay est le projeté de A sur l’axe « y ».

Y _A est l’ordonné du point A

Y _B est l’ordonné du point B

By B

Ay A

d

V) Projection d’un segment sur deux droites sécantes (appelé aussi repère cartésien ) ,cas courant le repère est dit «  cartésien ortho - normé » voir Objectif :....FL et F affine )

Les segments de droites AyBy et BxAx sont appelés les projetés du segment AB .

La norme permet de graduer les axes.

Si la norme * sur x et y est égale « mesure » le repère est dit « normé »

*Voir [O,I] et [ O, J ]

y

Ay A

By B

Bx Ax x

Voir : Composantes d’un vecteur et calcul de la NORME D’UN VECTEUR

Projection d’une surface sur deux droites:

FIN DU RAPPEL.

GEOMETRIE DANS L’ESPACE

Voir projection d’un point ,d’un segment ,d’une surface , d’un volume dans un repère en trois dimensions (dit dans l’espace )

EVALUATION :

A ) Montrer par un dessin ,la projection orthogonale d’un point .

D1

D

delta

M

I ) Soit le schéma suivant ,tracez le projeté du point M par rapport à « delta » sur la droite D et la droite D1.
II ) Soit un repère non orthogonal : tracer les projetées du segment

B

III ) Soit un repère orthonormé ( à compléter): tracer les projections du segment AB ; donner les coordonnées des deux points,

échelle1

Cet exercice sera repris avec Obj : « Pythagore »

en vue de rechercher la norme d’un vecteur par le calcul

Le vecteur Vx et le vecteur Vy sont les composantes du vecteur V.

Ces composantes ont pour origine ,l’origine du vecteur V ,pour direction , les parallèles aux droites d et d ’ et pour extrémité des parallèles aux droites d et d ’ passant par l’extrémité du vecteur V I

Composantes d’un vecteur:

d’

Vy V

Vx

d

Projection des composantes d’un vecteur:

Le vecteur Vx et le vecteur Vy sont les projections du vecteur

V

Nous avons dessiné le cas ou les projection sont orthogonales , parce que les axes x et y sont orthogonaux

y

Vy

V

x

Vx

CALCUL DES COMPOSANTES D’UN VECTEUR:

V , Vx et Vy forme un triangle « rectangle » si le repère est orthonormé

Pour trouver les caractéristiques du triangle rectangle on fait appel :

à « Pythagore »

ou aux relations trigonométriques dans le triangle rectangle (sinus, cosinus, tangente ,cotangente)

V

V y

Vx