WARMATHS

Hauteur et  Orthocentre

 


 


Définitions:

Hauteur :  Une hauteur d'un triangle est une droite qui passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé.

Orthocentre : Les trois hauteurs d'un triangle se coupent en un point (elles sont concourantes en ce point) appelé orthocentre.

Dans un triangle le mot "hauteur" désigne aussi la distance d'un sommet au côté opposé. Ce côté est alors appelé la base du triangle. Il faut bien voir qu'il y a trois bases possibles dans un triangle, comme il y a trois hauteurs et donc trois façons de calculer l'aire d'un triangle

haut


 

Tracés:

-d'une hauteur: voir le tracé d'une droite perpendiculaire à une droite donnée et passant par un point donné.

-de l'orthocentre: il suffit de tracer deux hauteurs. Leur intersection est le point cherché.

Remarque: La hauteur issue d'un sommet d'un triangle peut se trouver entièrement à l'extérieur de ce triangle. C'est le cas lorsqu'il y a un angle obtus dans le triangle (c'est le seul angle obtus du triangle d'ailleurs).

L'orthocentre est alors aussi à l'extérieur du triangle;

 

haut


 Cas particulier du triangle rectangle:

Dans un triangle rectangle deux côtés sont perpendiculaires. Chacun de ces deux côtés passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé. Nous avons donc déjà deux hauteurs qui se coupent au sommet de l'angle droit. L'orthocentre est donc ce sommet.

triangle rectangle

haut


 Cas particulier du triangle équilatéral:

Dans un triangle équilatéral, les hauteurs sont aussi les médianes, les médiatrices des côtés et les bissectrices des angles. L'orthocentre d'un triangle équilatéral est donc aussi le centre de gravité, le centre du cercle inscrit et du cercle circonscrit.