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Droites parallèles

· Définition.

· Propriétés.

· Tracé d'une droite parallèle à une droite donnée.

· Quadrilatères et côtés parallèles

· Parallèles coupées par une sécante.

· Droites parallèles coupant deux droites sécantes.

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Définitions:

Deux droites parallèles sont deux droites qui n'ont aucun point commun ou qui sont confondues.

Si deux droites ont un point commun alors elles sont sécantes en ce point.

Propriétés:

1. Axiome d'Euclide: il n'existe qu'une seule droite parallèle à une droite donnée et passant par un point donné.

Remarque: Un axiome est une propriété non démonstrée, admise par tous les mathématiciens.

2. Si deux droites sont parallèles et qu'une troisième droite est sécante à l'une

Alors cette troisième droite est sécante à l'autre.

3. Si deux droites sont parallèles et qu'une troisième droite est perpendiculaire à l'une

Alors cette troisième droite est perpendiculaire à l'autre.

4. Si deux droites sont parallèles à une même troisième Alors ces deux droites sont parallèles entre elles.

Tracé d'une droite parallèle à une droite donnée:

1. Passant par un point donné: Soit (d1) la droite donnée et tracer (d2) parallèle à (d1) passant par A. Se fait en trois points: 1. alignez un côté (n'importe lequel) de l'équerre avec la droite donnée (d1). 2. Placez une règle sur un autre côté de l'équerre. 3. Tenir fermement la règle (ne pas la bouger!) et glissez l'équerre sur la règle jusqu'à ce que le côté qui était aligné avec (d1) passe sur le point A. Tracez la droite (d2) en suivant ce côté. Il ne reste plus qu'à la prolonger convenablement.

2. A une distance donnée: Soit (d1) la droite donnée. Tracer (d2) parallèle à (d1) à une distance d (5cm par exemple). Voici une méthode (parmi d'autre) rapide mais peu précise: 1. Placez la règle alignée avec la droite (d1). Avec l'équerre appuyée sur la règle (celle ci ne bouge pas) tracez deux segments perpendiculaires à (d1). Remarque: ces deux segments sont parallèles (à démontrer en utilisant une propriété des droites perpendiculaires et non la propriété 3 du paragraphe "propriétés" ci-dessus). 2. Mesurez sur chacun de ces segments, à partir de leur intersection avec (d1), la distance donnée (5cm par exemple). Vous obtenez deux points A1 et A2. La droite passant par ces deux points est la droite (d2) demandée. Remarque: la démonstration se fait en remarquant que nous avons tracé un parallélogramme (et même un rectangle).

 Quadrilatères et côtés parallèles:

Deux côtés parallèles: les trapèzes.

Côtés opposés parallèles deux à deux: les parallélogrammes.

Parallèles coupées par une sécante:

Un peu de vocabulaire:

Deux angles de part et d'autre d'une droite sont dits alternés comme les feuilles sur les tiges de certaines plantes:

Ces angles ne sont égaux que dans des situations particulières.

Une bande à bords parallèles est la partie du plan situé entre deux droites parallèles. Si les deux bords sont sécants alors la bande est un angle et les propriétés rappelées ci-dessous ne sont plus vérifiées.

Définitions:

« angles alternes internes »: ils se trouvent à l'intérieur de la bande de part et d'autre de la sécante, les sommets sont différents.

« angles alternes externes »: ils se trouvent à l'extérieur de la bande, de part et d'autre de la sécante, les sommets sont différents.

« angles correspondants »: ils se trouvent du même côté de la sécante, l'un à l'intérieur de la bande, l'autre à l'extérieur; les sommets sont différents.

Cas particulier des bandes à bords parallèles:

Les droites parallèles (d1) et (d2) déterminent une bande à bords parallèles. Sur les figures ci-dessous, l'intérieur de cette bande est "grisée". Les angles à l'intérieur de la bande sont appelés internes, ceux à l'extérieur de la bande sont appelés... externes.

Dans ce cas particulier, les angles alternes internes sont égaux (deux par deux) ainsi que les angles alternes externes (deux par deux) et les angles correspondants (deux par deux).

Droites parallèles coupant deux droites sécantes:

Les droites (d1) et (d2) sont sécantes en O.

Les deux droites parallèles (xx') et (yy') coupent ces deux sécantes en A et B pour (xx') et en C et D pour (yy').

Cette configuration détermine deux triangles: OAB et OCD dont les côtés sont liés par les égalités ci-contre. Pour l'utilisation de ces formules il vous faut savoir calculer avec des quotients égaux.

Voir aussi ce qui est dit sur la droite parallèle à un côté d'un triangle.