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Pré requis

OBJECTIF: PUISSANCE Niveau 1(définition et notation de base )

TEST

COURS

Devoir Contrôle

Devoir évaluation

INTERDISCIPLINARITÉ

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

Pré requis:

Voir les leçons :

1. la multiplication de deux nombres entiers naturels

2. la multiplication de deux nombres décimaux positifs

3. et éventuellement voir le cas de la puissance de deux nombres positifs ou négatifs.

COURS

Puissance d ' un "même" nombre:

Définition :

on appelle "puissance d'un même nombre" , la multiplication d ' un nombre par lui même deux à plusieurs fois .

La multiplication d ' un nombre par lui même:

NOTATION dans N:

Par convention X⁰ = 1	2⁰= 1	3,2 ⁰ = 1	a ⁰ = 1
X¹= X	2¹ = 2	3, 2 ¹ = 3,2	a ¹ = a
X ² = X X	2 = 2 2	3,2 = 3,2 3,2	a = a a
X = XXX	2 = 2 2 2	3,2 = 3,2 3,23,2	a = a a a
Ainsi de suite …….

Les carrés des nombres entiers naturels s ' appellent :les carrés parfaits

Les premiers carrés parfaits sont :

1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ;36 ;49 ; 64 ;81 ; 100 ; 121 ; 144 ; 163 ; ……….

NOTATION dans D positif

Par convention X⁰ = 1	3,2 ⁰ = 1	a ⁰ = 1
X¹= X	3, 2 ¹ = 3,2	a ¹ = a
X ² = X X	3,2 = 3,2 3,2	a = a a
X = XXX	3,2 = 3,2 3,23,2	a = a a a
Ainsi de suite …….

NOTATION dans D ^{+ ou -}

Par convention X⁰ = 1	(+2⁰) = 1	(-3,2) ⁰ = 1	a ⁰ = 1
X¹= X	(+ 2¹ ) = ( + 2 )	(-3,2) ¹ = (-3,2)	a ¹ = a
X ² = X X	(+2 ) = ( + 2 ) ( + 2 )	(-3,2) = (-3,2) (-3,2)	a = a a
X = XXX	(+2)= (+ 2) (+ 2)(+ 2)	(-3,2) = (-3,2) (-3,2) (-3,2)	a = a a a
Ainsi de suite …….

Le carré d ' un nombre :

La multiplication d ' un nombre par lui - même porte plusieurs noms:

"au carré " s ' écrit 22 se dit : deux au carré ; et se note 2 ²

" à la puissance 2" : s ' écrit 22 ; et se dit deux à la puissance deux se note 2²

"exposant 2" : s 'écrit 22 ; et se dit deux exposant deux et se note 2²

En conclusion: 22 s ' écrira , sous forme simplifiée , 2² ,on pourra dire : deux au carré ; deux à la puissance deux ou deux exposant deux .

Les carrés des nombres entiers naturels s ' appellent :les carrés parfaits

Les premiers carrés parfaits sont :

1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ;36 ;49 ; 64 ;81 ; 100 ; 121 ; 144 ; 163 ; ……….

Ainsi on remplacera encore:

bb par b²

(+4) (+4) par (+4)²

(-5) ( -5 ) par (-5)²

xx par x²

Autres écritures simplifiées:

aa = a²	aaaaa = a⁴	abb = b²	bbb = b³
xxx = x³	yyyy =y⁴	xxyyy = x²y³	axxyy = ax²y²

En géométrie:

Dans la relation établie à partir de "Pythagore" et du triangle rectangle donné :on remplace AB fois AB par AB ² ; (les lettres A et B désignant des points , nous ne sommes pas obligé de mettre le groupe de deux lettres entre parenthèses ; mais on peut remplacer l ' écriture AB² par ( AB )^2.

Ainsi AC fois AC s ' écrira AC² ; CB fois CB par CB² .

En sciences :

Dans le calcul des aires

si l' unité de mesure est le mètre :

On multipliera des mètres par mètres s ' écrira : mm; ce qui donnera en écriture simplifiée : m ²

si l' unité de mesure est le décimètre :

On multipliera des décimètres mètres par des décimètres

On écrira : dmdm ; ce qui donnera en écriture simplifiée : dm ²

si l' unité de mesure est le centimètre :

On multipliera des centimètres par des centimètres On écrira : cmcm; ce qui donnera en écriture simplifiée : cm ²

si l' unité de mesure est le millimètre :

On multipliera des millimètres par des millimètres

On écrira : mmmm; ce qui donnera en écriture simplifiée : mm ²

CALCULS:

Exemples :

4 4 = 16	55 = 25
(+4) (+4) = (+4)² = ( +16)	(-5) ( -5 ) = (-5)² = (+25)
(+2⁰) = 1	(-3,2) ⁰ = 1
(+ 2¹ ) = ( + 2 )	(-3,2) ¹ = (-3,2)
(+2 ) = ( + 2 ) ( + 2 ) = (+4)	(-3,2) = (-3,2) (-3,2) = (+10,24 )
(+2)= (+ 2) (+ 2)(+ 2) = (+8 )	(-3,2) = (-3,2) (-3,2) (-3,2)=(-32,768)

REMARQUES IMPORTANTES:

(-5) (+5) n ' est pas la multiplication d ' un nombre par lui - même parce que -5 n' est pas égal à +5

à savoir que par exemple:

;

4² = 16

(+4)² = (+16)

- 4 ² = - 16

(-4)² = (+16)

+ 4² = 16

16 Parce que 4 est un N

(+16) Parce que (+4) est un nombre relatif

- 16 Parce que 4 est un N précédé par le signe de la soustraction

(+16) Parce que (-4) est un nombre relatif

16 Parce que 4 est un nombre N précédé par le signe de l ' addition

Le cube d ' un nombre :

La multiplication d ' un nombre par deux fois lui même lui - même porte plusieurs noms:

"au cube " s ' écrit 22 2 se dit : deux au cube ; et se note 2 ³

" à la puissance 3" : s ' écrit 22 2 ; et se dit deux à la puissance trois se note 2³

"exposant 3" : s 'écrit 22 2 ; et se dit deux exposant trois et se note 2³

En conclusion: 222 s ' écrira , sous forme simplifiée , 2³ ,on pourra dire : deux au cube; deux à la puissance trois ou deux exposant trois .

Les cubes des nombres entiers naturels s ' appellent :les cubes parfaits

Les premiers cubes parfaits sont :

1 ; 8; 27 ; 64; 125 ;…; 625; .. ; 1000 ; ……….

Ainsi on remplacera encore:

bbb par b³

(+4) (+4) (+4) par

(+4)³

(-5) ( -5 ) ( -5 ) par

(-5)³

xxx par x³

Autres écritures simplifiées:

aa = a²	aaaaa = a⁴	abb = b²	bbb = b³
xxx = x³	yyyy =y⁴	xxyyy = x²y³	axxyy = ax²y²

En sciences :

Dans le calcul des volumes

si l' unité de mesure est le mètre :

On multipliera des mètres par mètres par mètres s ' écrira : mm m ; ce qui donnera en écriture simplifiée : m ³

si l' unité de mesure est le décimètre :

On multipliera des décimètres mètres par des décimètres par des décimètres

On écrira : dmdm dm ; ce qui donnera en écriture simplifiée : dm ³

si l' unité de mesure est le centimètre :

On multipliera des centimètres par des centimètres par des centimètres

On écrira : cmcm cm ; ce qui donnera en écriture simplifiée : cm ³

si l' unité de mesure est le millimètre :

On multipliera des millimètres par des millimètres par des millimètres

On écrira : mmmm mm ; ce qui donnera en écriture simplifiée : mm ³

CALCULS:

Exemples :

4 4 4 = 64	55 5 = 125
(+4) (+4) (+4) = (+4)³ = ( +64)	(-5) ( -5 ) ( -5 ) = (-5)³ = (-125)
(+2)= (+ 2) (+ 2)(+ 2) = (+8 )	(-3,2) = (-3,2) (-3,2) (-3,2)=(-32,768)

REMARQUES IMPORTANTES:

(-5) (+5) (+5) n ' est pas la multiplication d ' un nombre pas le cube parce que -5 n' est pas égal à +5

à savoir que par exemples:

;

4³ = 16

(+4)³ = (+16)

- 4 ³ = - 16

(-4)³ = (+16)

+ 4³ = 16

64 Parce que 4 est un N

(+64) Parce que (+4) est un nombre relatif

- 64 Parce que 4 est un N précédé par le signe de la soustraction

(-16) Parce que (-4) est un nombre relatif

64 Parce que 4 est un nombre N précédé par le signe de l ' addition

CONTROLE:

Que veut dire "puissance d ' un nombre ?…………….

Pour le carré:

Ecrire de façon simplifiée :

22 : ……………….

xx = ……….

mm … ..=…….

dmdm =………..

cmcm =………..

mmmm =……..

Traduire en écriture numérique :

deux au carré :………………..

deux à la puissance deux :…………………

deux exposant deux :……………………

Traduire en langage littéral de trois façon : (-3)²

Pourquoi (-5)(+5) n 'est pas égal à (+5)² ou (-5)² ?

Que signifie : "carré parfait" ?………………

Citer les 13 premiers carrés parfaits:………….

Pour le cube :

Ecrire de façon simplifiée :

22 2 : ……………….

xxx :……………….

mm m……………..=…….

dmdm dm =………..

cmcm cm =………..

mmmm mm =……..

Traduire en écriture numérique :

deux au cube :………………..

deux à la puissance trois :…………………

deux exposant trois :……………………

Traduire en langage littéral de trois façon : (-3)³

Pourquoi (-5)(+5)(-5) n 'est pas égal à (+5)³ ou (-5)³ ?

Que signifie : "cube parfait" ?………………

Citer les 5 premiers cubes parfaits ( plus deux autres nombres ):………….

Evaluation

Ecrire plus simplement:

bb par ………..	(+4) (+4) par ………	(-5) ( -5 ) par ……..	xx par ……………
aa………	aaaaa……=..	abb:………….	bbb:………
xxx:……….	yyyy:………….	xxyyy:……………	axxyy :………….

Faire tous les calculs possibles ( dans N et ensuite dans D ^+ou
- )

4 4 =	55 =
(+4) (+4) = (+4)² =	(-5) ( -5 ) = (-5)² =
(+2⁰) =	(-3,2) ⁰ =
(+ 2¹ ) =	(-3,2) ¹ =
(+2 ) = ( + 2 ) ( + 2 ) =	(-3,2) = (-3,2) (-3,2) =
(+2)= (+ 2) (+ 2)(+ 2) =	(-3,2) = (-3,2) (-3,2) (-3,2)=

4 4 4 =	55 5 =
(+4) (+4) (+4) = (+4)³ =	(-5) ( -5 ) ( -5 ) = (-5)³ =
(+2)= (+ 2) (+ 2)(+ 2) =	(-3,2) = (-3,2) (-3,2) (-3,2) =

PUISSANCES DE DIX et ECRITURE SCIENTIFIQUE:

Par convention 100 = 1

10¹ = ( 10⁰) 10₁ = 1 10 = 10

10² = ( 10⁰) 10₁10₂ = 1 100 = 100

10³ = ( 10⁰) 10₁10₂ 10₃ = 1 1000 = 1000

10⁴ = ……………………….= 1 10 000 = 10 000

Moyen mémo pour passer d ' un nombre à une autre écriture à "la puissance de dix" :

On indicie les zéros dans un ordre croissant ou décroisant ce qui correspond à l ' écriture scientifique des nombres multiples ( ou sous multiple ) de dix et qui peut s ' appliquer à n ' importe quel nombre .

10 = 10₁ = 1 10 =

100 =10₁0₂ = 1 10²

1 000 =1 0₁0₂0₃ =1 10³

pour les nombres "à virgule" , on indicie tous les chiffres situés à droite de la virgule

0,1 = 1 10 ^-1

0,01 = 1 10 ^-2

0,001 = 1 10 ^-3

0,0001 = 1 10 ^-4

Pour plus d ' explication voir : l ' origine sur le système décimal :::SOS info sur le nombre décimal et SOS numération dans D

ECRITURE SCIENTIFIQUE:

Tout nombre entier ou décimal peut se mettre sous forme d ' écriture dite "scientifique" , le but étant de réduire l ' écriture du nombre en utilisant les puissances de dix.

L ' écriture scientifique est de la forme a 10 ⁿ

Où "a" est un nombre décimal ayant un seul chiffre en partie entière.

L ' écriture scientifique à pour but de faciliter l ' écriture d ' un grand nombre dans une calculatrice.

Exemples:

23 000 s ' écrira 2,3 10 ⁴

1 400 000 s ' écrira 1,4 10 ⁶

TEST

Interdisciplinarité

CORRIGE Contrôle

CORRIGE Evaluation